Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2011 Matthias Makowski, Marcello Sani
Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra 2¨
Blatt 1 Aufgabe 1.1. (4 Punkte)
SeiK ein endlicher K¨orper mitqElementen.
a) Wieviele Elemente besitzt der VektorraumKn?
b) Seienv1, . . . , vk ∈Kn linear unabh¨angig. Wieviele Elemente besitzthv1, . . . , vki?
c) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente vonGL(n, K).
Aufgabe 1.2. (4 Punkte)
a) SeiV einR-Vektorraum mit Skalarprodukt und seik·k:V →Rdie durch das Skalarprodukt induzierte Normfunktion. Beweisen Sie, dass
ku+vk2+ku−vk2= 2
kuk2+kvk2
(1) f¨ur alleu, v∈V gilt.
b) SeiV ein reeller Vektorraum mit einer stetigen Normfunktion, die die Gleichung (1) erf¨ullt. Zeigen Sie, dass durch
hu, vi= ku+vk2− ku−vk2 4
ein euklidisches Skalarprodukt aufV definiert wird.
*c) Wie lauten die entsprechenden Resultate f¨urC-Vektorr¨aume?
Aufgabe 1.3. (4 Punkte)
a) F¨ur welche Werteα∈Rist durch hx, yi=
x1 x2
,
y1 y2
=x1y1+αx1y2+αx2y1+ 7x2y2
ein Skalarprodukt aufR2definiert?
b) Seiena, b∈Rn undλ1, . . . , λn nicht negative reelle Zahlen. Beweisen Sie
n
X
i=1
λiaibi≤
n
X
i=1
λi(ai)2
!1/2 n
X
i=1
λi(bi)2
!1/2
.
Aufgabe 1.4. (4 Punkte)
Sei V ein K-Vektorraum und V∗ der zugeh¨orige Dualruam. Es ist auch m¨oglich den Dualraum zu V∗ zu bilden. Der so erhaltene Vektorraum heißtBidualraum
V∗∗:= (V∗)∗= Hom(V∗, K) und es existiert einekanonische Abbildung
ι:V →V∗∗, v7→ιv, mitιv(ϕ) :=ϕ(v).
Zeigen Sie, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, fallsV endlich-dimensional ist.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen11.html#LAII Abgabe:Bis Dienstag, 19.4.2011, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
