Zeige, dass die Vektorraumstruktur vonTxM nicht von der Wahl der Karte abh¨angt

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2010 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Differentialgeometrie I¨

Blatt 4

Aufgabe 4.1. SeiM eine differenzierbare Mannigfaltigkeit undx∈M. Zeige, dass die Vektorraumstruktur vonTxM nicht von der Wahl der Karte abh¨angt.

Aufgabe 4.2. SeiZ=Sⁿ⁻¹×R.

(i) Zeige, dassZ eine differenzierbare (C^∞) Untermannigfaltigkeit desRⁿ⁺¹ ist.

Wir versehen nunZ mit dieser differenzierbaren Struktur.

(ii) Seiu:Z →R⁺,u∈C²(Z). SeiM ein Graph ¨uber Z, d.h. es gilt M ={(u(x, y)·x, y) : (x, y)∈Z}.

Gib eine lokale Einbettung von M an und berechne die von der Einbettung induzierte Metrik, die ¨außere Normale, sowie die zweite Fundamentalform.

(iii) Sei nunurotationssymmetrisch, gelte also u(x, y) =u(y). Berechne nun die mittlere Kr¨ummungH.

Aufgabe 4.3.

(i) SeiN ∈Sⁿ der Nordpol. Wir definieren nun eine Abbildung ϕ^N :Sⁿ\ {N} →Rⁿ,

indem wir einem Punktx∈Sⁿ den Schnittpunkt derN undxverbindenden Geraden mit der Ebene Rⁿ≡Rⁿ× {0}zuweisen. Analog definieren wir ϕ^S : Sⁿ\ {S} →Rⁿ, wobei nunSden S¨udpol bezeichnet. Zeige nun, dassϕ^N und ϕ^S Karten eines Atlanten vonSⁿ sind.

(ii) Gib eine weitere Auswahl an Karten an, mit welcherSⁿ zu einer Mannigfal- tigkeit wird.

Aufgabe 4.4. Sei M^m⊂R^m+1 einem-dimensionale, kompakte Untermannigfal- tigkeit. Zeige, dass es einen Punktp∈M^m mithij(p)>0 gibt.

Zusatz: Bezeichnet diamM^m den Durchmesser von M^m in R^m+1, so gibt es p∈ M^m, so dass h_ij(p)≥ _diamM¹ _mg_ij gilt.

Abgabe:Bis Dienstag, 18.05.2010, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.