Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2010/2011 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra 1¨
Blatt 7 Aufgabe 7.1. (4 Punkte)
Sei die Funktionf :R4→R4durch
(x1, x2, x3, x4)�→(3x1+x2−x3+x4,−x1+x2+ 3x3+x4,4x3+ 4x4,−2x2+ 6x3+ 8x4) gegeben.
a) Zeigen Sie, dassf eine lineare Abbildung ist.
b) SeiA= (aij)∈R4×4 durch die Koeffizienten inf(ej) =
�4 i=1
aijei gegeben, wobeiej den Einheitsvektor in diej-te Richtung desR4 bezeichnet,j∈N, 1≤j ≤4. Geben SieAexplizit an.
c) Bestimmen Sie den Rang der MatrixA.
d) Geben Sie eine Basis von ker(f) :={v∈R4:f(v) = 0}und von im(f) :=f(R4) an.
Aufgabe 7.2. (2 Punkte)
Seik∈N+. Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix desRk×k:
1 2 ... k 2 3 ... k+1
... ... ... ...
k k+1 ... 2k−1
.
Aufgabe 7.3. (6 Punkte)
SeiF ein K¨orper,n∈N, und bezeichne mitFn[X] die Menge der Polynomep(X)∈F[X] mit degp≤n.
a) Begr¨unden Sie kurz, warumF[X] einF-Vektorraum ist.
b) Zeigen Sie, dassFn[X] ein Unterraum vonF[X] ist.
c) SeiW :={p(X)∈Fn[X] :p(0) = 0 =p(1)}. Zeigen Sie, dassW ein Unterraum vonFn[X] ist.
d) Geben Sie eine Basis B1 vonW an.
e) Seia ∈F. Zeigen Sie, dass die Polynomeh0[X] := 1 und hi[X] := (X−a)i f¨ur i∈N, 1 ≤i ≤n, eine BasisB2a vonFn[X] bilden.
f) Sein= 4 unda∈F beliebig. Verfahren Sie wie beim Beweis des Austauschsatzes von Steinitz, um eine BasisB vonF4[X] mitB1⊂B undB\B1⊂B2a zu erhalten.
Aufgabe 7.4. (4 Punkte)
Sei K ein K¨orper und seien V und W zwei K-Vektorr¨aume und ϕ : V → W eine lineare Abbildung. Sei weiterhin{v1, . . . , vn}eine Basis vonV und seien f¨uri∈ {1, . . . , n}die Vektorenwi∈W durchwi:=ϕ(vi) definiert.
a) Zeigen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) ϕist injektiv.
(ii) {w1, . . . , wn}ist linear unabh¨angig.
b) Zeigen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) ϕist surjektiv.
(ii) {w1, . . . , wn}ist ein Erzeugendensystem vonW.
c) Vergleichen Sie nun dimV und dimW, fallsϕinjektiv beziehungsweise surjektiv ist.
Abgabe:Bis Dienstag, 07.12.2010, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
