als Sch¨atzung f¨ur den ganzen Kreis ergibt. Gem¨aß A = r

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10. Klasse L¨osungen 10

Pi, Kugel, Kreisteile, Bogenmaß 01

1.

q q q q q q q q q q q q q q q q q q

q q

Man z¨ahlt 20 Punkte innerhalb des Kreises (beim Punkt (3,5|3,5) kann man sich mit Pythagoras davon ¨uberzeugen, dass er innerhalb des Kreises liegt), so dass sich A ≈ 80 cm

als Sch¨atzung f¨ur den ganzen Kreis ergibt. Gem¨aß A = r

π ist π =

≈

= 3,2.

2. (a) Halbiert man das Dreieck ABM durch die H¨ohe h, so sieht man:

cos 54

=

und sin 54

=

, also h = r cos 54

≈ 11,8, AB = 2r sin 54

≈ 32, 4.

A

= A

− A

=

· r

π −

AB · h ≈ 187.

(b) Zeichnet man die Strecke [M

S] und den Winkel ϕ =< ) SM

M

ein, so l¨asst sich die ¨uberstrichene Fl¨ache A zerlegen in den Viertelkreis mit Mittelpunkt M

, das Dreieck ∆M

M

S und den Sektor M

T S mit dem Winkel 90

− ϕ, minus den kleinen Viertelkreis mit Mittelpunkt M

.

Im Dreieck M

M

S ist cos ϕ =

M2S

=

= 0,4375, also ϕ ≈ 64,06

. Gem¨aß Pythagoras ist M

S =

q

M

S

− M

M

≈ 71,94 (alle Maße in cm).

A = A

+ A

+ A

− A

=

=

RM

π +

M

M

· M

S +

M

T

π −

M

U

π ≈ 7420 Anteil an der ganzen Scheibe:

≈ 0,698 = 69, 8 %.

3. Die Formel r = R cos ϕ ergibt sich aus der Betrachtung des neben- stehenden Querschnitts durch die Erdkugel.

s =

· 2rπ ≈ 9700 km.

F¨ur den Winkel σ des Bogens von D zum gesuchten Ort S setzt man an: s =

· 2Rπ, also σ =

· 360

≈ 87

, also liegt der gesuchte Ort 87

− 49

= 38

s¨udlich des ¨ Aquators.

c c

cc R

r ϕ D ϕ

s s

S s

R

σ

4. Der K¨orper ist zusammengesetzt aus einer Halbkugel plus einem Zylinder minus ei- nem herausgeschnittenen Kegel (mit Mantellinie m

=

(3a)

+ (4a)

= 5a).

V =

·

r

π +r

πh

−

r

πh

=

(3a)

π+(3a)

π ·4a−

(3a)

π ·4a = 42πa

. O =

4πr

+ 2r

πh

+ πr

m

= 2π(3a)

+ 2π · 3a · 4a + 3a · 5aπ = 57πa

. F¨ur V = 1 dm

muss gelten: 42πa

= 1 dm

, also a =

≈ 0,196 dm = 1,96 cm.

5. (a) V =

(V

− V

)+V

− V

=

·

(40

−38

)π+(10

−8

)π·80≈ 28165 (b) M = 2r

πh = 2 · 9 · 80 · π = 1440π; A =

· 4πr

= 2 · 39

π = 3042π.

M + A ≈ 14081, also (M + A)d ≈ V . (Alle Maße in mm bzw. mm

).

(c) Bei m-facher Gr¨oße werden Volumina m

-fach und Fl¨achen m

-fach, bei dop- pelter Gr¨oße also V 8-fach und M + A 4-fach.

6. (a) sin 30

= 0,5, cos 1

≈ 0,99985 (TR auf DEG) sin 0,08 ≈ 0,0799, cos 1 ≈ 0,54 (TR auf RAD) (b) 30

=

· 2π =

π; 1

=

· 2π ≈ 0,0175

0,08 =

· 360

≈ 4,584

; 1 =

· 360

≈ 57,3

Man best¨atigt nach entsprechendem Umschalten des TRs die obigen Werte.