b) Definitionsgem¨aß gilt f¨ur alle ξ∈R Ff(ξ

Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT) Institut f¨ur Analysis

Priv.-Doz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. D. Roth

SS 2012 12.07.2012

H¨ohere Mathematik II f¨ur die Fachrichtung Physik L¨osungsvorschl¨age zum 13. ¨Ubungsblatt Aufgabe 68

a) F¨urξ 6= 0 gilt Ff(ξ) =

Z 1

−1

e^−iξxdx=h 1

−iξe^−iξxi1

x=−1 = 1

iξ e^iξ−e^−iξ

= 2sin(ξ) ξ . F¨urξ = 0 ist

Ff(0) = Z 1

−1

1dx= 2. b) Definitionsgem¨aß gilt f¨ur alle ξ∈R

Ff(ξ) = Z ∞

−∞

e^−iξxf(x)dx= Z ∞

0

xe^−xe^−iξxdx+ Z 0

−∞

xe^xe^−iξxdx .

WegenR

xe^αxdx=xe^αx/α−R

e^αx/α dx=xe^αx/α−e^αx/α² erh¨alt man f¨urc >0 Z c

0

xe^−xe^−iξxdx= Z c

0

xe^−x(1+iξ)dx=

xe^−x(1+iξ)

−(1 +iξ) − e^−x(1+iξ) (1 +iξ)²

c

x=0

=

ce^−c(1+iξ)

−(1 +iξ) − e^−c(1+iξ) (1 +iξ)²

−

0− 1

(1 +iξ)²

c→∞

−−−→ 1 (1 +iξ)² , wobei man

e^−c(1+iξ)

= e^−c beachten muss. F¨ur das zweite Integral ergibt sich analog R₀

−∞xe^x(1−iξ)dx=R∞

0 (−τ)e^{−τ(1−iξ)}dτ =−(1−iξ)⁻², d.h. wir haben Ff(ξ) = 1

(1 +iξ)² − 1

(1−iξ)² = (1−iξ)²−(1 +iξ)²

(1 +ξ²)² = −4iξ (1 +ξ²)².

Alternativ: Dax7→xe^−|x| absolut integrierbar ist, ist F{e^−|x|} nach 23.7 (d) differenzierbar und f¨ur jedes ξ∈Rgilt

d

dξF{e^−|x|}(ξ) =F{(−ix)e^−|x|}(ξ) =−iF{xe^−|x|}(ξ) bzw.

F{xe^−|x|}(ξ) =i d

dξF{e^−|x|}(ξ)Bsp. in 23.4

= i d

dξ 2

1 +ξ² = −4iξ (1 +ξ²)² . c) Wegen cos(x) = ¹₂(e^ix+e^−ix),x∈R, ergibt sich f¨ur jedes ξ∈R

Ff(ξ) = Z π/2

−π/2

e^−iξxcos(x)dx= 1 2

Z π/2

−π/2

e^i(1−ξ)x+e^−i(1+ξ)x dx .

F¨urξ 6=±1 bekommen wir Ff(ξ) = 1

2 1

i(1−ξ)e^i(1−ξ)x− 1

i(1 +ξ)e^−i(1+ξ)x π/2

x=−π/2

= 1 2

1 i(1−ξ)

e^i(1−ξ)π2 −e^{−i(1−ξ)π2}

− 1 2

1 i(1 +ξ)

e^{−i(1+ξ)π2} −e^i(1+ξ)π2

= 1 2

1 1−ξ

e^−iξπ2 +e^iξπ2

−1 2

1 1 +ξ

−e^−iξπ2 −e^iξπ2

=

1

2(1 +ξ)(e^−iξπ2 +e^iξπ2)−¹₂(1−ξ)(−e^−iξπ2 −e^iξπ2) 1−ξ²

= 2¹₂(e^−iξπ2 +e^iξπ2)

1−ξ² = 2 cos(ξ^π₂) 1−ξ² . Im Fallξ= 1 ist

Ff(1) = 1 2

Z π/2

−π/2

1 +e^−2ix

dx= π 2 +1

2 h 1

−2ie^−2ixiπ/2

x=−π/2 = π 2 und f¨urξ =−1 gilt

Ff(−1) = 1 2

Z π/2

−π/2

e^2ix+ 1

dx= 1 2

h1 2ie^2ix

iπ/2

x=−π/2+π 2 = π

2 . d) Wir verwenden das Resultat 23.7 (b) der Vorlesung. Ist

g(x) :=

( cos(x) f¨ur −^π₂ ≤x≤ ^π₂

0 sonst (x∈R)

gesetzt, dann gilt f¨ur alle x∈R(vgl. Additionstheorem des cos) g(x−π/2) =

( cos(x−^π₂) f¨ur −^π₂ ≤x− ^π₂ ≤ ^π₂

0 sonst =

( sin(x) f¨ur 0≤x≤π

0 sonst

=f(x).

Mit der Rechenregel 23.7 (b) folgt f¨ur alleξ ∈R

Ff(ξ) =F{g(x−^π₂)}(ξ) =e^−iξπ2Fg(ξ). Gem¨aß c)gilt f¨urξ 6=±1

Ff(ξ) =e^−iξπ2Fg(ξ) =e^−iξπ2 2 cos(^π₂ξ)

1−ξ² =e^−iξπ2

e^iπ2ξ+e^−iπ2ξ 1 1−ξ²

=

1 +e^−iπξ 1 1−ξ² und

Ff(1) =e^−i·1·π2Fg(1) =−iπ 2, Ff(−1) =e^{−i·(−1)·π2}Fg(−1) =iπ

2 . e) F¨ur jedes x∈Rgilt

f(x) = 1

x²+ 4x+ 5 = 1

(x+ 2)²+ 1 =g(x+ 2)

mit

g(x) := 1

1 +x² (x∈R).

Wir berechnen zun¨achst Fg und argumentieren zur Bestimmung vonFf mit der Verschie- bungsregel 23.7 (b) der Fouriertransformation.

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass f¨ur die Funktionh:R→R,h(x) :=e^−|x|, gilt Fh(ξ) = 2

1 +ξ² , ξ∈R.

Gesucht ist also Fg = ¹₂F{Fh}. h ist stetig, beschr¨ankt und absolut integrierbar. Ferner istFhabsolut integrierbar, dennR∞

−∞|Fh(ξ)|dξ= 2R∞ 0

1

1+ξ² dξ= 2 limb→∞[arctanξ]^b₀ =π.

Damit sind die Voraussetzungen der Fourierinversionsformel f¨urh erf¨ullt. Diese besagt h(x) = 1

2π Z ∞

−∞

e^ixξFh(ξ)dξ= 1

2π F{Fh}(−x) f¨ur jedesx∈R. Zusammenfassend haben wir

Fg(ξ) = 1

2F{Fh}(ξ) = 1

22π h(−ξ) =π e^−|−ξ|=π e^−|ξ|, ξ ∈R. (∗) Schließlich liefert die Verschiebungsregel 23.7 (b)

Ff(ξ) =F{g(x+ 2)}(ξ) =e^−iξ(−2)Fg(ξ)^(∗)= π e^2iξ−|ξ|, ξ∈R. f ) F¨ur jedes x∈Rgilt

f(x) = x

x⁴+ 2x²+ 1 =−1 2

−2x

(x²+ 1)² =−1 2g⁰(x), wobeig wie im e)-Teil definiert ist.

Dag stetig, differenzierbar und absolut integrierbar sowie g⁰ stetig und absolut integrierbar ist, gilt nach 23.7 (e)

Ff(ξ) =−1

2Fg⁰(ξ) =−1

2iξFg(ξ)^(∗)= −1

2iξπ e^−|ξ|. Aufgabe 69

Zuα >0 definiere

ϕ_α:R→R, ϕ_α(x) = 1

√2παe^−x

2 2α . Wie in Beispiel 23.8 der Vorlesung gesehen, ist

F{e^−x2/2}(ξ) =√

2π e^−ξ2/2, ξ∈R, bzw. mitϕ1(x) = ^√1

2π e^−x2/2,x∈R, ausgedr¨uckt

Fϕ1(ξ) =e^−ξ2/2, ξ ∈R.

F¨ur jedes α >0 gilt ϕα(x) = 1

√

2παe^−x

2

2α = 1

√α

√1

2πe^−(x/

√α)2

2 = 1

√αϕ1(x/√

α), x∈R.

Mit den Rechenregeln der Fouriertransformation folgt f¨ur jedesξ ∈R Fϕ_α(ξ) = 1

√αF{ϕ₁(x/√

α)}(ξ)^{23.7 (a)}= 1

√α 1 1/√

αFϕ₁ ξ 1/√

α

=Fϕ₁(√

α ξ) =e^−αξ2/2.

F¨ur alle α, β > 0 sind ϕ_α, ϕ_β stetig, beschr¨ankt und absolut integrierbar. Nach 23.14 ist damit auchϕα∗ϕβ stetig, beschr¨ankt und absolut integrierbar, und es gilt f¨ur alle ξ∈R

F(ϕ_α∗ϕ_β)(ξ) =F(ϕ_α)(ξ)·F(ϕ_β)(ξ) =e^−αξ2/2·e^−βξ2/2=e^{−(α+β)ξ2/2} =F(ϕ_α+β)(ξ). Sowohlϕ_α∗ϕ_βals auchϕ_α+βsind stetig, beschr¨ankt und absolut integrierbar. Da fernerF(ϕ_α∗ϕ_β) sowieF(ϕ_α+β) absolut integrierbar sind, sind die Voraussetzungen der Inversionsformel 23.10 f¨ur die Funktionenϕα∗ϕβ bzw.ϕα+β erf¨ullt. Diese liefert f¨ur jedes x∈R

ϕ_α∗ϕ_β(x) = 1 2π

Z ∞

−∞

e^ixξF(ϕ_α∗ϕ_β)(ξ)dξ= 1 2π

Z ∞

−∞

e^ixξF(ϕ_α+β)(ξ)dξ=ϕ_α+β(x). Aufgabe 70

Sei f(x) :=

1 f¨ur|x| ≤1

0 f¨ur|x|>1 . Wie in Aufgabe 68 a) gesehen, gilt f¨ur die Fouriertransformierte von f

Ff(ξ) =

( 2^sin(ξ)_ξ f¨urξ6= 0, 2 f¨urξ= 0.

Wir verwenden den Satz von Plancherel: Ist f:R→C st¨uckweise stetig, absolut integrierbar und giltR∞

−∞|f(x)|²dx <∞, so ist Z ∞

−∞

|f(x)|²dx= 1 2π

Z ∞

−∞

|Ff(ξ)|²dξ .

F¨ur die oben definierte Funktion f sind die Voraussetzungen erf¨ullt; also gilt 2 =

Z 1

−1

1dx= Z ∞

−∞

|f(x)|²dx= 1 2π

Z ∞

−∞

|Ff(ξ)|²dξ= 2 π

Z ∞

−∞

sin²(ξ) ξ² dξ bzw.

Z ∞

−∞

sin²(ξ)

ξ² dξ=π .

Daξ7→ ^sin_ξ²₂^(ξ) eine gerade Funktion ist (denn ^sin_(−ξ)^2(−ξ)2 = ^(−sin(ξ))_ξ2 ² = ^sin_ξ²2^(ξ)), ergibt sich Z ∞

−∞

sin²(ξ)

ξ² dξ= 2 Z ∞

0

sin²(ξ) ξ² dξ und damit

Z ∞ 0

sin²(ξ)

ξ² dξ= π 2 . Aufgabe 71

a) Daf(x) = 0 f¨ur alle x mitx² >1 ⇐⇒ |x|>1 gilt, erhalten wir f¨ur jedes ξ∈R Ff(ξ) =

Z 1

−1

f(x)e^−iξxdx= Z 1

−1

(1−x²)e^−iξxdx . Speziell f¨urξ = 0 ergibt sich

Ff(0) = Z 1

−1

(1−x²)dx=h x− 1

3x³i1

x=−1 = 2 3 −

−2 3

= 4 3.

F¨urξ 6= 0 liefert zweimalige partielle Integration Ff(ξ) =

(1−x²)·e^−iξx

−iξ 1

x=−1

− Z 1

−1

2x·e^−iξx iξ dx

= 0−

2x· e^−iξx

−(iξ)² 1

x=−1

+ Z 1

−1

2 e^−iξx

−(iξ)² dx

=−2e^−iξ+e^iξ ξ² + 2

e^−iξx (iξ)³

1

x=−1

=−4 cosξ

ξ² + 2e^−iξ−e^iξ

−iξ³

=−4 cosξ

ξ² +4 sinξ

ξ³ = −4ξcosξ+ 4 sinξ

ξ³ .

b) F¨ur jedes n∈Ngilt

Ffn(ξ) =n·F{f(nx)}(ξ)^{26.3 (a)}= n·1

nFf(ξ/n) =Ff(ξ/n), ξ ∈R.

Unter Verwendung der ina)gefundenen Ergebnisse erhalten wirFf_n(0) =Ff(0) = 4/3 und Ffn(ξ) = −4(ξ/n) cos(ξ/n) + 4 sin(ξ/n)

(ξ/n)³ = −4n²ξcos(ξ/n) + 4n³sin(ξ/n) ξ³

f¨urξ6= 0. Da f (st¨uckweise) stetig und absolut integrierbar ist, istFf nach dem Lemma von Riemann-Lebesgue (23.6) stetig. Daher ergibt sich f¨ur jedesξ ∈R

n→∞lim Ff_n(ξ) = lim

n→∞Ff(ξ/n) =Ff(0) = 4 3.