(3)Beweis Nachweis der Konvergenz der Riemann-Summen f¨ur stetig differenzierbares f mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zu zeigen: Z b a f∆m− Z b a f∆n &lt

Riemann-Integral

Das Riemann-Integral einer st¨uckweise stetigen Funktion f ist durch Z b

a

f(x)dx= lim

|∆|→0

Z b a

f_∆(x)dx= lim

|∆|→0

X

k

f(ξ_k) ∆x_k

definiert. Dabei bezeichnet ∆ : a=x₀ <x₁<· · ·<x_n=b eine Zerlegung von [a,b], ∆xk =xk −xk−1,

|∆|= max

k ∆xk

ist die maximale Intervalll¨ange undξ_k ist ein beliebiger Punkt im k-ten Intervall. Gebr¨auchlich ist ebenfalls die abgek¨urzte SchreibweiseRb

a f. Die Summen auf der rechten Seite der Integraldefinition werden

Riemann-Summen genannt und k¨onnen als Integral einer Treppenfunktion interpretiert werden.

Aufgrund der fest gew¨ahlten Integrationsgrenzen wirdRb

a f =Rb

a f(x)dx als bestimmtes Integral bezeichnet.

F¨ur eine positive Funktion f entsprichtRb

a f(x)dx dem Inhalt der Fl¨ache unterhalb des Graphen von f.

Beweis

Nachweis der Konvergenz der Riemann-Summen f¨ur stetig differenzierbares f mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zu zeigen:

Z b a

f_∆m− Z b

a

f_∆n

< ε f¨ur m,n >N_ε f¨ur jede Folge ∆₁,∆₂, . . . von Zerlegungen mit |∆_i| →0

Vergleich der Riemann-Summen mit Hilfe einer Zerlegung ∆ bestehend aus der Vereinigung der Unterteilungspunkte von ∆_m und ∆_n

∆m:xi,i = 0, . . . ,km, ∆n:yi,i = 0, . . . ,kn

und

∆: z_j,j = 0, . . . ,k mit der Riemann-Summe

k

X

j=1

f(ζ_j) ∆z_j, ζ_j ∈[zj−1,z_j]

Mittelwertsatz =⇒

|f(r)−f(s)| ≤ |r−s|max

t |f⁰(t)|

P

xi−1≤z_j−1<zj≤x_i∆z_j = ∆x_i und |ζ_j −ξ_i| ≤(x_i−x_i−1)≤ |∆_m|f¨ur

ζ_j ∈[xi−1,x_i] sowieP_km

i=1∆x_i =b−a =⇒

Z b a

f_∆− Z b

a

f_∆m

=

k

X

j=1

f(ζj) ∆zj −

km

X

i=1

f(ξi) ∆xi

=

km

X

i=1

X

xi−1≤zj−1<z_j≤x_i

(f(ζj)−f(ξi))∆zj

≤ |∆_m| max

t∈[a,b]|f⁰(t)|

| {z }

=c

km

X

i=1

X

xi−1≤zj−1<zj≤xi

∆z_j

| {z }

=b−a

,

d.h.

Z b a

f_∆− Z b

a

f_∆m

≤c(b−a)|∆_m| analoge Absch¨atzung f¨ur |Rb

a f_∆−Rb a f_∆n|

Z b a

f_∆m− Z b

a

f_∆n

≤c(b−a) (|∆_m|+|∆_n|)→0 m,n → ∞

analog: Konvergenz zweier Folgen gegen den gleichen Grenzwert ebenfalls analog: Beweis f¨ur st¨uckweise stetigesf, basierend auf der gleichm¨aßigen Stetigkeit vonf:

|f(x₁)−f(x₂)| ≤ε f¨ur |x₁−x₂|< δ

Beispiel

Berechnung von R1

0 x²dx mit Riemann-Summen

Folge von Partitionen

∆n:x_k =k/n,k = 0, . . . ,n Auswertungsstellen

ξk = (2k−1)/(2n),k = 1, . . . ,n Grenzwert der Riemann-Summen

Z 1 0

f_∆n =

n

X

k=1

1 n

2k−1 2n

2

= 1 4n³ 4

n

X

k=1

k²−4

n

X

k=1

k+

n

X

k=1

1

!

= 1

4n³

4n(n+ 1)(2n+ 1)

6 −4n(n+ 1)

2 +n

= 1 3 − 1

12n²

=⇒ lim R

f = ¹

Eigenschaften des Riemann-Integrals

Das bestimmte Integral besitzt folgende Eigenschaften:

Linearit¨at:

Z b a

r f =r Z b

a

f, Z b

a

f +g = Z b

a

f + Z b

a

g Monotonie: f ≤g =⇒

Z b a

f ≤ Z b

a

g Additivit¨at:

Z b a

f + Z c

b

f = Z c

a

f

In ¨Ubereinstimmung mit der letzten Eigenschaft definiert man Ra

b f =−Rb a f.