Vergleichskriterium f¨ ur uneigentliche Integrale
Ist g eine Majorante f¨ ur f , d.h. gilt
|f (x )| ≤ |g (x)| a < x < b
so folgt aus der absoluten Integrierbarkeit von g die absolute
Integrierbarkeit von f ¨ uber dem Intervall [a, b] und damit die Existenz des Integrals
Z b a
f (x) dx .
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Beweis
betrachte o.B.d.A. eine Singularit¨ at an der oberen Grenze:
R b
a f = lim c→b
−R c a f
r(c) = Z c
a
|f | monoton wachsend, beschr¨ ankt durch R b
a |g |
= ⇒ Konvergenz f¨ ur c → b − und Existenz von R b a |f | s (c ) =
Z c
a
(f + |f |
| {z }
≥0
)
ebenfalls monoton wachsend, beschr¨ ankt durch 2 R b a |g |
= ⇒ Existenz von R b
a (f + |f |) Subtraktion = ⇒ Existenz von
Z b a
f = Z b
a
(f + |f |) − Z b
a
|f |
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Beispiel
Vergleichsfunktion f (x) = x r
Z b a
x r dx =
b r +1 − a r+1
r + 1 , r 6= −1 ln(b) − ln(a), r = −1
, 0 < a < b < ∞ (i) b → ∞:
Konvergenz f¨ ur r < −1 Existenz von Z ∞
1
x r dx, r < −1, Grenzwert : − 1 r + 1 (ii) a → 0 + :
Konvergenz f¨ ur r > −1 Existenz von Z 1
0
x r dx , r > −1, Grenzwert : 1 r + 1
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Beispiel
Existenz des uneigentlichen Integrals R ∞
0 (sin x)/x dx Aufspaltung in zwei Anteile: R ∞
0 . . . = R 1
0 . . . + R ∞ 1 . . .
Existenz des Integrals ¨ uber [0, 1] wegen Stetigkeit des Integranden Umformung des Integrals ¨ uber [1, ∞] mit partieller Integration
Z b 1
sin(x) x dx =
− cos(x) x
b 1
− Z b
1
cos(x) x 2 dx erster Term → cos(1) f¨ ur b → ∞
zweiter Term: Integrand majorisiert durch
cos(x) x 2
≤
1 x 2
= ⇒ Konvergenz nach dem Vergleichskriterium Methoden der Fourier-Analysis
Z ∞ 0
sin(x)
x dx = π 2
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