Analysis II: L¨ osung zu Aufgaben 3 und 6: ¨ Ubungsblatt DGL 2. Ordnung 3) Schwingungsgleichung

Analysis II: L¨ osung zu Aufgaben 3 und 6: ¨ Ubungsblatt DGL 2. Ordnung 3) Schwingungsgleichung

a) Zu pr¨ ufen ist der Wert von ∆ = δ ² − ω ₀ ² Bestimmung von δ ² , ω ² _o :

2δ = d

m = ⇒ δ = 1

ω ² ₀ = f

m = ⇒ ω ₀ ² = 2

= ⇒ ∆ = 1 − 2 = − 1 < 0 = ⇒ Schwingungsfall.

Es handelt sich um den Schwingungsfall, da ∆ = δ ² − ω ² ₀ < 0.

Kriechfall: ∆ = δ ² − ω ₀ ² > 0

= ⇒ δ ² > 2 = ⇒ δ > √

2 = ⇒ δ = d 2m > √

2 = ⇒ d > 40 √ 2 kg

s = 56, 57 kg s Aperiodischer Grenzfall: ∆ = δ ² − ω ₀ ² = 0

= ⇒ δ ² = 2 = ⇒ δ = √

2 = ⇒ δ = d 2m = √

2 = ⇒ d = 40 √ 2 kg

s = 56, 57 kg s b) Umgeformte Schwingungsgleichung: ¨ s + 2 ˙ s + 2s = 0

1. Allgemeine L¨osung der Schwingungsgleichung

aus a) folgt direkt (aus der Formel f¨ ur eine Schwingungsgleichung ansonsten charakteristische Glei- chung aufstellen und l¨osen)

λ _1,2 = − 1 ± √

1 − 2 = − 1 ± j damit ergibt sich als allgemeine L¨osung:

s(t) = e ^−t (C ₁ sin t + C ₂ cos t)

2. Partikul¨are L¨osung unter den gegebenen Anfangsbedingungen s(0) = 1m; v(0) = ˙ s(0) = 0 ^m _s Ableitung: ˙ s(t) = − e ^{− t} (C ₁ sin t + C ₂ cos t) + e ^{− t} (C ₁ cos t − C ₂ sin t)

s(0) = 1 = ⇒ 1(0 + C ₂ ) = 1 = ⇒ C ₂ = 1

˙

s(0) = 0 = ⇒ − 1(0 + C ₂ ) + 1(C ₁ + 0) = 0 = ⇒ − C ₂ + C ₁ = 0 = ⇒ C ₁ = 1

Die partikul¨are L¨osung lautet also:

s(t) = e ^{− t} (sin t + cos t)

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

s(t)

2 4 6 8 10 12

t

6a) y ⁰⁰ − 3y ⁰ = 2x + 1 + e ^3x

Verfahren: Aufsuchen der partikul¨aren L¨osung 1. L¨osung der homogenen Differentialgleichung

y ⁰⁰ − 3y ⁰ = 0 Charakteristische Gleichung:

λ ² − 3λ = 0

= ⇒ λ(λ − 3) = 0

= ⇒ λ ₁ = 0, λ ₂ = 3

L¨osung der homogenen Differentialgleichung: y h = C ₁ e ^0x + C ₂ e ^3x = C ₁ + C ₂ e ^3x 2. Aufsuchen der partikul¨aren L¨osungen

y ⁰⁰ − 3y ⁰ = 2x + 1

| {z }

s

(x)

+ e ^3x

|{z}

s

(x)

F¨ ur beide St¨orfunktionen muss die jeweilige partikul¨are L¨osung ermittelt werden, die partikul¨aren L¨osung der Differentialgleichung ergibt sich aus der Summe der beiden.

(a) Aufsuchen der partikul¨aren L¨osung zu s ₁ (x) = (2x + 1)(e ^0x )

α = 0 ist einfache L¨osung der charakteristischen Gleichung = ⇒ q = 1:

m = 1 (Polynom 1. Grades).

Ansatzfunktion: y _p1 = x ¹ B ₁ (x) = b ₁ x ² + b ₀ x Ableiten: y _p1 ⁰ = 2b 1 x + b ₀ , y _p1 ⁰⁰ = 2b 1

Einsetzen:

2b 1 − 6b 1 x − 3b 0 = 2x + 1

= ⇒ − 6b ₁ x + (2b ₁ − 3b ₀ ) = 2x + 1 Koeffizientenvergleich:

= ⇒ − 6b ₁ = 2 = ⇒ b ₁ = − 1 3

= ⇒ 2b 1 − 3b 0 = 1 = ⇒ b ₀ = − 5 9 Partikul¨are L¨osung: y _p1 = − ¹ ₃ x ² − ⁵ ₉ x

(b) Aufsuchen der partikul¨aren L¨osung zu s ₂ (x) = e ^3x

α = 3 ist einfache L¨osung der charakteristischen Gleichung = ⇒ q = 1:

m = 0 (Polynom 0. Grades = Konstante).

Ansatzfunktion: y _p2 = x ¹ B ₀ (x) = b ₀ xe ^3x

Ableiten: y _p2 ⁰ = b ₀ e ^3x + 3b ₀ xe ^3x , y ⁰⁰ _p2 = 3b ₀ e ^3x + 3b ₀ e ^3x + 9b ₀ xe ^3x = 6b ₀ e ^3x + 9b ₀ xe ^3x Einsetzen:

6b ₀ e ^3x + 9b ₀ xe ^3x − 3(b ₀ e ^3x + 3b ₀ xe ^3x ) = e ^3x

= ⇒ 3b ₀ e ^3x = e ^3x

= ⇒ 3b ₀ = 1

= ⇒ b ₀ = 1

3

3

Partikul¨are L¨osung: y _p2 = ¹ ₃ xe ^3x 3. Allgemeine L¨osung:

y = y h + y _p1 + y _p2 = C ₁ + C ₂ e ^3x − 1 3 x ² − 5

9 x + 1

3 xe ^3x

6b) m¨ s = mg − c s ˙ ² , AB: bei t = 0 : s = 0, s ˙ = 0

Verfahren: Zur¨ uckf¨ uhren auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung, Typ 3a

¨

s = g − c

m s ˙ ² = ⇒ s ¨ = f( ˙ s) = ⇒ Typ 3a 1. Substitution

u = ˙ s = ⇒ u ˙ = ¨ s = ⇒ f( ˙ s) = f (u)

= ⇒ u ˙ = g − c m u ²

= ⇒ du

dt = g − c m u ²

2. Trennung der Variablen Z 1

g − _m ^c u ² du =

Z dt

= ⇒ m c

Z 1

gm

c − u ² du =

Z dt

= ⇒ m c

r c

gm artanh(

r c

gm u) = t + C ₁

= ⇒ r m

cg artanh(

r c

gm u) = t + C ₁ mit AB: t = 0, s ˙ = u = 0 = ⇒ C ₁ = 0

= ⇒ r m

cg artanh(

r c

gm u) = t

= ⇒ r c

gm u = tanh(

r cg m t)

= ⇒ u =

r gm c tanh(

r cg m t)

3. R¨ ucksubstitution: u = ˙ s = ^ds _dt

ds dt =

r gm c tanh(

r cg m t) 4. Trennung der Variablen

Z

ds =

r gm c

Z tanh(

r cg m t)dt

= ⇒ s =

r gm c

r m cg ln

cosh(

r cg m t)

+ C ₂

= ⇒ s = m

c ln

cosh(

r cg m t)

+ C ₂ mit AB: t = 0, s = 0 = ⇒ C ₂ = 0

5. L¨osung unter den gegebenen Anfangsbedingungen s = m

c ln

cosh(

r cg m t)

5

6c) y ⁰⁰ + y ⁰ − 6y + 3 = 0 = ⇒ y ⁰⁰ + y ⁰ − 6y = − 3, bei AB: x = 0 : y = 0, y ⁰ = 0 Verfahren: Aufsuchen der partikul¨aren L¨osung

1. L¨osung der homogenen Differentialgleichung

y ⁰⁰ + y ⁰ − 6y = 0 Charakteristische Gleichung:

λ ² + λ − 6 = 0

= ⇒ λ ₁ = 2, λ ₂ = − 3 L¨osung der homogenen Differentialgleichung: y _h = C ₁ e ^2x + C ₂ e ^−3x 2. Aufsuchen der partikul¨aren L¨osung

α = 0 ist keine L¨osung der charakteristischen Gleichung m = 0

Ansatzfunktion: y _p = B ₀ (x) = b ₀ Ableiten: y _p ⁰ = 0, y _p ⁰⁰ = 0

Einsetzen: − 6b 0 = − 3 = ⇒ b ₀ = ¹ ₂ Partikul¨are L¨osung: y p = ¹ ₂

3. Allgemeine L¨osung

y = y _h + y p = C ₁ e ^2x + C ₂ e ^−3x + 1 2 4. Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine L¨osung

x = 0, y = 0 : C ₁ + C ₂ + 1

2 = 0 = ⇒ C ₁ + C ₂ = − 1

2 (1)

Ableitung: y ⁰ = 2C ₁ e ^2x − 3C ₂ e ^{− 3x}

x = 0, y ⁰ = 0 = ⇒ 2C ₁ − 3C ₂ = 0 = ⇒ C ₁ = 3 2 C ₂ mit (1) ergibt sich

3

2 C ₂ + C ₂ = − 1

2 = ⇒ C ₂ = − 1

5 = ⇒ C ₁ = − 3 10 5. Partikul¨are L¨osung unter den gegebenen Anfangsbedingungen

y _AB = − 3

10 e ^2x − 1

5 e ^{− 3x} + 1

2