Mathematik III f¨ur Wirtschaftsingenieure/–informatiker Pr¨ufungsklausur 19. Februar 1998 Aufgabe
1
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erreichbar: 11
L¨ osen Sie die Differentialgleichung y
0(x) − y(x) cos x = sin x cos x !
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2
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erreichbar: 8
L¨ osen Sie die Randwertaufgabe x(t) ¨ − 2 ˙ x(t) + 10x(t) = 0 x(0) = 3 , x( π
6
) = 2 !
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3
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erreichbar: 13
L¨ osen Sie das Differentialgleichungssystem
˙
x = 2x+ y − 3z
˙
y = x+2y − 3z
˙
z = 5x+ y − 6z
!
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4
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erreichbar: 9
Geben Sie die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens zur L¨ osung des Gleichungssystems sin x − y = 0
x − cos y = 0
an und f¨ uhren Sie einen Iterationsschritt mit dem Startwert (x
(0), y
(0)) = (1, 1) aus!
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5
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erreichbar: 7
Das lineare Gleichungssystem
100x
1+ x
2+ x
3+ x
4+ x
5+ x
6+ x
7+ x
8+ x
9= 96 x
1+100x
2+ x
3+ x
4+ x
5+ x
6+ x
7+ x
8+ x
9= 97 x
1+ x
2+100x
3+ x
4+ x
5+ x
6+ x
7+ x
8+ x
9= 98 x
1+ x
2+ x
3+100x
4+ x
5+ x
6+ x
7+ x
8+ x
9= 99 x
1+ x
2+ x
3+ x
4+100x
5+ x
6+ x
7+ x
8+ x
9=100 x
1+ x
2+ x
3+ x
4+ x
5+100x
6+ x
7+ x
8+ x
9=101 x
1+ x
2+ x
3+ x
4+ x
5+ x
6+100x
7+ x
8+ x
9=102 x
1+ x
2+ x
3+ x
4+ x
5+ x
6+ x
7+100x
8+ x
9=103 x
1+ x
2+ x
3+ x
4+ x
5+ x
6+ x
7+ x
8+100x
9=104 soll mit dem Jacobischen Gesamtschrittverfahren iterativ nach der Vorschrift
x
(n+1)= 1 100
96 97 98 99 100 101 102 103 104
−
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
x
(n)
gel¨ ost werden.
a) Begr¨ unden Sie die Konvergenz dieses Verfahrens!
b) F¨ uhren Sie mit dem Startvektor x
(0)= (1, 1, . . . , 1)
>einen Iterationsschritt aus!
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6
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erreichbar: 12
Entwickeln Sie die π
2 –periodische Funktion f(x) = | sin 2x | in eine Fourierreihe!
Hinweis: cosαsinβ= 12(sin(α+β)−sin(α−β))
