Bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung y 0 =

Dr. Erwin Sch¨ orner

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15):

Differential– und Integralrechnung 8

8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung y ⁰ =

1 + 2

x

y

f¨ ur x > 0.

8.2 (Herbst 2012, Thema 1, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung x y ⁰ + 3 y − 5 x ² = 0

auf ]0, ∞[.

8.3 (Fr¨ uhjahr 2005, Thema 1, Aufgabe 6)

Bestimmen Sie die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ = 1

x − 2 y + x ² − 2 x, x < 2, y(1) = 3 2 . 8.4 (Herbst 2007, Thema 2, Aufgabe 6)

Gegeben sei die Funktion

f : ]−1; 1[ → R , f(x) = 1 − x (1 + x) (1 + x ² ) . a) Man best¨ atige, dass f¨ ur alle x ∈ ]−1; 1[

f (x) = 1

1 + x − x 1 + x ²

gilt, und bestimme damit eine Stammfunktion F : ]−1; 1[ → R von f.

b) Man l¨ ose das Anfangswertproblem y ⁰ = f (x) y mit y(0) = 1.

8.5 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie f¨ ur die L¨ osung ϕ : R → R des Anfangswertproblems y ⁰ = −e ^x y, y(0) = −1

die Menge ϕ( R ) ihrer Funktionswerte.

8.6 (Herbst 2007, Thema 3, Aufgabe 4)

Bestimmen Sie die L¨ osung des linearen Anfangswertproblems y ⁰ = x

1 + x ² y + 1

√ 1 + x ² , y(0) = 0.

8.7 (Fr¨ uhjahr 2008, Thema 3, Aufgabe 5)

Man bestimme die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ = cos ² x + y · tan x mit y(0) = 1.

8.8 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 2, Aufgabe 2)

Man bestimme alle (a, b) ∈ R ² , f¨ ur die das Anfangswertproblem y ⁰ + a y = e ^{b x} , y(0) = 0

eine auf R definierte und auf R ⁺ beschr¨ ankte L¨ osung besitzt.

8.9 (Herbst 2010, Thema 2, Aufgabe 3) L¨ osen Sie das Anfangswertproblem

y ⁰ (x) = 1

1 + y(x) , y(0) = 1.

Berechnen Sie die L¨ osung, und geben Sie das maximale L¨ osungsintervall an.

8.10 (Herbst 2008, Thema 1, Aufgabe 5)

Man bestimme die L¨ osung der Anfangswertaufgabe y ⁰ = − 1 + 2x

1 + 2y , y(0) = 0, im Bereich

B :=

(x, y) ∈ R ² | − ¹ ₂ < y mit maximalem Definitionsintervall.

8.11 (Fr¨ uhjahr 2014, Thema 3, Aufgabe 5) Es sei die Menge

U =

(x, y) ∈ R ² : y > −1 und die Funktion f : U → R durch

f(x, y) = sin(x) y + 1

gegeben. Bestimmen Sie die L¨ osung des Anfangswertproblems

y ⁰ (x) = f (x, y(x)), y(0) = 1.

8.12 (Herbst 2008, Thema 2, Aufgabe 6)

Bestimmen Sie die L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ y x ² + 1

+ x y ² + 1

= 0, y(0) = 1 mit maximalem Definitionsintervall.

8.13 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 3, Aufgabe 4)

Bestimmen Sie die L¨ osung des Anfangswertproblems yy ⁰ − e ^x = 0, y(0) = 1 und geben Sie den maximalen Definitionsbereich an.

8.14 (Herbst 2004, Thema 2, Aufgabe 6)

Bestimmen Sie die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ = (xy)

, x > 0, y > 0, y(1) = 1.

8.15 (Herbst 2013, Thema 1, Aufgabe 5)

a) Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem

y ⁰ = e ^x−y mit y(0) = ln(2)

eine auf ganz R definierte L¨ osungsfunktion φ : R → R besitzt.

b) Bestimmen Sie f¨ ur die L¨ osungsfunktion φ die Grenzwerte

x→−∞ lim φ(x), lim

x→∞ (φ(x) − x) und skizzieren Sie den Graphen G _φ von φ.

8.16 (Fr¨ uhjahr 2005, Thema 3, Aufgabe 6)

Man bestimme die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ (x) = 1

x y(x) ² f¨ ur x ∈ R , x > 0, y(1) = 1.

8.17 (Fr¨ uhjahr 2007, Thema 1, Aufgabe 5)

Man bestimme alle L¨ osungen der Differenzialgleichung y ⁰ = 2 x y (y − 1) ,

die auf ganz R definiert sind. (Hinweis: _y(y−1) ¹ = _y−1 ¹ − ¹ _y .) 8.18 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 3, Aufgabe 5)

Berechnen Sie die L¨ osungen der Differentialgleichung y ⁰ = x y − x y ² mit den Anfangswerten

y(0) = −1, y(0) = 0, y(0) = 1, y(0) = 2.

8.19 (Herbst 2011, Thema 2, Aufgabe 6)

Bestimmen Sie die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ = 2 cos ² (y)

1 − x ² mit y(0) = π 3 . 8.20 (Fr¨ uhjahr 2008, Thema 1, Aufgabe 6)

L¨ osen Sie das Anfangswertproblem

y ⁰ = 2 x y ² , y(1) = a f¨ ur

(i) a = 1

2 ; (ii) a = − 1 2 jeweils unter Angabe des maximalen Definitionsintervalls.

8.21 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben sei die Differentialgleichung

y ⁰ = y − 1

x ² + 1 . (∗)

Bestimmen Sie alle konstanten und alle streng monoton wachsenden L¨ osungs- funktionen der Differentialgleichung (∗).

8.22 (Herbst 2009, Thema 1, Aufgabe 5)

Gegeben sei, in Abh¨ angigkeit eines reellen Parameters a > 0, die Differentialglei- chung

xy ⁰ = y − a

ax + 1 (x > −1/a) .

a) Man bestimme alle reellen L¨ osungen der Differentialgleichung.

b) Man bestimme, in Abh¨ angigkeit von a, das Verhalten der L¨ osung am Rande des Definitionsbereichs.

8.23 (Herbst 2010, Thema 1, Aufgabe 4)

Bestimmen Sie alle (a, b) ∈ R ² , f¨ ur die das Anfangswertproblem y ⁰ = 2 x y ² − y

, y(a) = b, eine auf R definierte beschr¨ ankte L¨ osung besitzt.

8.24 (Herbst 2006, Thema 3, Aufgabe 6)

Bestimmen Sie die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰ = y ³ − y

x , x > 0, y(1) = 1 2 . Hinweis: Verwenden Sie die Substitution z = 1

y ² .

8.25 (Fr¨ uhjahr 2010, Thema 1, Aufgabe 5)

a) Bestimmen Sie die L¨ osungsgesamtheit der Differentialgleichung (∗) y ⁰ = 2xy − 6x.

b) Zeigen Sie: Ist y eine L¨ osung von (∗) und J ein Intervall, in dem y(x) 6= 0, so erf¨ ullt z(x) := _y(x) ¹ in J die Differentialgleichung

(∗∗) z ⁰ = 6xz ² − 2xz.

Falls umgekehrt z die Differentialgleichung (∗∗) mit z(x) 6= 0 im Intervall J l¨ ost, so ist y(x) = _z(x) ¹ in J eine L¨ osung von (∗).

c) L¨ osen Sie die Differentialgleichung (∗∗) mit der Anfangsbedingung z(0) = ¹ ₂ , und geben Sie hierzu das maximale L¨ osungsintervall an.

8.26 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 1, Aufgabe 5)

Es bezeichne R + := {x ∈ R | x > 0} die Menge der positiven reellen Zahlen.

Gegeben seien zwei stetige Funktionen f, g : R ⁺ → R und die lineare Differential- gleichung zweiter Ordnung auf R + :

y ⁰⁰ + f(x) y ⁰ + g(x) y = 0.

a) Sei ϕ eine L¨ osung dieser Differentialgleichung. Zeigen Sie: Genau dann ist h(x) ϕ(x) auch eine L¨ osung, wenn h(x) eine L¨ osung der Differentialgleichung

h ⁰⁰ · ϕ + h ⁰ · (2 ϕ ⁰ + f ϕ) = 0 ist.

b) Wenden Sie a) auf die Differentialgleichung y ⁰⁰ + y ⁰ +

1 x − 2

x ²

y = 0

mit der L¨ osung ϕ(x) := _x ¹ an, um eine weitere L¨ osung zu erhalten.

8.27 (Herbst 2011, Thema 3, Aufgabe 5)

Gegeben seien die beiden inhomogenen linearen Differentialgleichungen

x y ⁰ = 2 y + x ² (x > 0) (1)

und

f ⁰⁰⁰ (x) = 2

x (x > 0). (2)

a) Zeigen Sie ohne Ermittlung der allgemeinen L¨ osung von (1): Jede mindestens dreimal stetig differenzierbare L¨ osungsfunktion y = f (x) von (1) ist auch eine spezielle L¨ osung von (2).

b) Bestimmen Sie die L¨ osung des Anfangswertproblems f ⁰⁰⁰ (x) = 2

x (x > 0), f (1) = − 1

2 , f ⁰ (1) = 0, f ⁰⁰ (1) = 2.

8.28 (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 6) a) Gegeben sei die Funktion

f : [0, ∞[ → R , x 7→ √ x.

Untersuchen Sie, ob eine reelle Zahl L existiert, so dass

|f (x) − f (y)| ≤ L |x − y| f¨ ur alle x ≥ 0, y ≥ 0 gilt.

b) Bestimmen Sie zwei verschiedene L¨ osungen y : [0, ∞[ → R des Anfangs- wertproblems

y ⁰ = √

y, y(0) = 0.

8.29 (Fr¨ uhjahr 2008, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie

a) die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung y ⁰⁰ + 4 y ⁰ + 3 y = 0,

b) eine spezielle L¨ osung y ₀ (x) der inhomogenen Differentialgleichung y ⁰⁰ + 4 y ⁰ + 3 y = 10 cos(x),

c) die L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung aus b) mit y(0) = y ⁰ (0) = 0.

8.30 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 1, Aufgabe 3)

a) Bestimmen Sie ein reelles L¨ osungsfundamentalsystem der Differenzialglei- chung

y ⁰⁰ + 2 y ⁰ + 2 y = 0.

b) Bestimmen Sie eine reelle L¨ osungsfunktion der inhomogenen linearen Diffe- renzialgleichung

y ⁰⁰ + 2 y ⁰ + 2 y = −4 x ² − 2.

8.31 (Fr¨ uhjahr 2012, Thema 2, Aufgabe 2)

Gegeben sei die folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

y ⁰⁰ − 7 y ⁰ + 12 y = exp(−x).

a) Bestimmen Sie die Menge der L¨ osungen der homogenen Differentialglei- chung.

b) Geben Sie eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung an

und bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung.

8.32 (Herbst 2012, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben sei die Differentialgleichung

y ⁰⁰ − 5 y ⁰ + 6 y = 12 x ² − 26 x + 15

a) Bestimmen Sie alle L¨ osungen y dieser Differentialgleichung.

b) Bestimmen Sie die L¨ osung y mit

y(0) = y ⁰ (0) = 0.

8.33 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 1, Aufgabe 4)

Finden Sie alle L¨ osungen des Anfangswertproblems

y ⁰⁰ + y ⁰ = x, y(0) = 3, y ⁰ (0) = −1.

8.34 (Herbst 2008, Thema 3, Aufgabe 5) Betrachtet wird die Differentialgleichung

y ⁰⁰ − y ⁰ − 6y = e ^−x .

Bestimmen Sie alle L¨ osungen, die im Intervall [0, ∞[ beschr¨ ankt sind und die Anfangsbedingung y(0) = 0 erf¨ ullen.

8.35 (Fr¨ uhjahr 2007, Thema 2, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie die Menge aller maximalen reellen L¨ osungen der Differenzialglei- chung

y ⁰⁰ + 2 y ⁰ + 5 y = 10 e ^−2x . 8.36 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 2, Aufgabe 5)

Man bestimme alle L¨ osungen der Differenzialgleichung y ⁰⁰ + y ⁰ − 6 y = cos(x) (x ∈ R ) , die in R beschr¨ ankt sind.

8.37 (Fr¨ uhjahr 2010, Thema 2, Aufgabe 5)

Geben Sie alle L¨ osungen der Differentialgleichung f ⁰⁰ (t) + 6f ⁰ (t) + 9f(t) = e ^t an.

8.38 (Fr¨ uhjahr 2010, Thema 3, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie alle L¨ osungen der Differentialgleichung f ⁰⁰ (t) − 6f ⁰ (t) + 9f (t) = e ^t . 8.39 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 1, Aufgabe 4)

Geben Sie alle Funktionen f(x) mit f (0) = 1 an, die spiegelsymmetrisch zur y–Achse sind und f¨ ur die

f ⁰⁰ (x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ R

gilt.

8.40 (Herbst 2013, Thema 2, Aufgabe 5)

F¨ ur welche c ∈ R , c > 0, besitzt die Differentialgleichung y ⁰⁰ + c ² y = 0

eine von der Nullfunktion verschiedene L¨ osung φ : R → R mit φ(0) = 0 und φ ⁰ (1) = 0?

8.41 (Herbst 2013, Thema 3, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie alle Paare (a, b) ∈ R ² , so dass jede reelle L¨ osung der Differential- gleichung

y ⁰⁰ − 2 a y ⁰ + b y = 0 auf R beschr¨ ankt ist.

8.42 (Fr¨ uhjahr 2003, Thema 2, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie alle L¨ osungen mit Definitionsbereich R des Anfangswertproblems y ⁰⁰⁰ − 2 y ⁰⁰ + 5 y ⁰ = 0, y(0) = 0, y ⁰ (0) = −3, y ⁰⁰ (0) = −11.

8.43 (Herbst 2005, Thema 3, Aufgabe 5)

Finden Sie s¨ amtliche reellen L¨ osungen des Anfangswertproblems y ⁰⁰⁰⁰ − 16 y = 0, y(0) = 0.

8.44 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 2, Aufgabe 4) Gegeben sei die Differentialgleichung

y ⁰⁰⁰ − 3 y ⁰⁰ + y ⁰ − 3 y = 17 e ^4x .

a) Bestimmen Sie alle L¨ osungen der zugeh¨ origen homogenen Differentialglei- chung. Gibt es periodische L¨ osungen? Gibt es nicht-periodische L¨ osungen?

b) Geben Sie s¨ amtliche L¨ osungen der inhomogenen Differentialgleichung an, welche den Anfangsbedingungen

y(0) = y ⁰ (0) = 0 gen¨ ugen.

8.45 (Fr¨ uhjahr 2014, Thema 1, Aufgabe 5)

Bestimmen Sie alle L¨ osungen der Differentialgleichung y ⁰⁰⁰⁰ (x) + 2 y ⁰⁰⁰ (x) − 8 y ⁰⁰ (x) = exp(x).

8.46 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 2, Aufgabe 5)

Man bestimme die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems

y ⁰⁰ + 2 y ⁰ + y = e ^−x mit y(0) = y ⁰ (0) = 1.

8.47 (Herbst 2009, Thema 2, Aufgabe 5) Gegeben sei die Differentialgleichung

y ⁰⁰ − 2ay ⁰ + a ² y = 2e ^ax . F¨ ur welches a ∈ R gibt es eine L¨ osung y : R → R mit

y(0) = 0, y ⁰ (0) = 0, y(1) = 1?

Wie lautet sie?

8.48 (Fr¨ uhjahr 2012, Thema 3, Aufgabe 5)

Man bestimme die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems y ⁰⁰ + 4 y = sin(2x)

mit

y(0) = y ⁰ (0) = 0.

8.49 (Herbst 2010, Thema 3, Aufgabe 5)

F¨ ur n ≥ 2, n ∈ N l¨ ose man das Anfangswertproblem y ⁰⁰ + (n − 1) y ⁰ − n y = n x, y(0) = 1 − n

n , y ⁰ (0) = n.

8.50 (Fr¨ uhjahr 2012, Thema 1, Aufgabe 5)

a) Finden Sie f¨ ur gegebenes k ∈ N alle L¨ osungen der Differentialgleichung y ^(k+2) = 2 y ^(k+1) − y ^(k) .

b) Finden Sie alle L¨ osungen der Differentialgleichung y ⁰⁰ = 2 y ⁰ − y + x ² , zum Beispiel mit Hilfe von Aufgabenteil a).

8.51 (Fr¨ uhjahr 2005, Thema 2, Aufgabe 4)

Bestimmen Sie die Menge der auf R definierten L¨ osungsfunktionen des Differen- zialgleichungssystems

y ₁ ⁰ (t) = y ₁ (t) + 4 y ₂ (t) y ₂ ⁰ (t) = 2 y ₁ (t) + 3 y ₂ (t) 8.52 (Herbst 2006, Thema 2, Aufgabe 4)

L¨ osen Sie das homogene lineare Differenzialgleichungssystem (∗)

x(t) = 3 ˙ x(t) + y(t)

˙

y(t) = x(t) + 3 y(t)

und zeigen Sie, dass die L¨ osungskurven implizit gegeben sind durch a · (x + y) = b · (x − y) ² mit a, b ∈ R .

Hinweis: Elimination des Parameters t in der allgemeinen L¨ osung von (∗).