Homogene Differentialgleichung

Homogene Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung

y⁰ =f(y/x),

bei der die rechte Seite nur vom Quotienteny/x abh¨angt, l¨asst sich durch die Substitution

xz(x) =y(x), z+xz⁰=f(z) in die separable Differentialgleichung

z⁰= 1

x(f(z)−z)

¨uberf¨uhren.

Homogene Differentialgleichung 1-1

Beispiel:

Anfangswertproblem

y⁰ = y²+x²

yx , y(1) = 2 K¨urzen durchx² rechte Seite in homogener Form

y²/x²+ 1

y/x =f(y/x) Substitution xz=y

z⁰ = 1

x(f(z)−z) = 1 x

z²+ 1 z −z

= 1 xz

Homogene Differentialgleichung 2-1

Separation der Variablen

zz⁰ = 1 x Integration

1

2z²= ln|x|+c

Ber¨ucksichtigung des Anfangswertes y(1) =z(1) = 2 =⇒ c = 2 und y =xz =xp

2 ln|x|+ 4 (z =−√

. . . entspricht nicht dem vorgegebenen Anfangswert.)

Homogene Differentialgleichung 2-2