Bernoullische Differentialgleichung

Bernoullische Differentialgleichung

Die Differentialgleichung

u⁰+pu =qu^k, k 6= 0,1, l¨asst sich durch die Substitution

y =u^1−k, y⁰= (1−k)u^−ku⁰ in die lineare Differentialgleichung

1

1−k y⁰ =−py+q

¨

uberf¨uhren.

Bernoullische Differentialgleichung 1-1

Speziell erh¨alt man f¨ur konstantes p und q y = q

p +cexp(p(k−1)x) bzw.

u= q

p +cexp(p(k−1)x) _1−k¹

mit c ∈R.

Bernoullische Differentialgleichung 1-2

Beispiel:

Es soll die L¨osung der Bernoullischen Differentialgleichung u⁰+ 3u =xu², u(0) = 1,

bestimmt werden.

Substitution y = 1/u bzw. u= 1/y

−y⁻²y⁰+ 3y⁻¹=xy⁻² ⇔ y⁰ = 3y−x allgemeine L¨osung

y =

x

Z

0

e^3x−3s(−s)ds+ce^3x

Anfangsbedingung y(0) = 1/u(0) = 1 und Integration =⇒ c = 1 und

y = 8

9e^3x +1 3x+1

9 u = 9

8e^3x+ 3x+ 1

Bernoullische Differentialgleichung 2-1