Differentialgleichung erster Ordnung

(1)

Differentialgleichungen

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Differentialgleichungen 1-1

Differentialgleichung erster Ordnung

Eine Differentialgleichung erster Ordnung f¨ ur eine Funktion y (x ) hat die Form

y

⁰

(x ) = f (x , y (x )) ,

wobei das Argument x oft weggelassen wird (y

⁰

= f (x , y )).

Die L¨ osung ist im Allgemeinen nur bis auf eine Konstante bestimmt, die durch eine Anfangsbedingung

y (x ₀ ) = y ₀ festgelegt werden kann.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichung erster Ordnung 1-1

Beispiel:

Differentialgleichung

y

⁰

= y

x (1 − y ) mit der allgemeinen L¨ osung

y = x

x + c , c ∈ R

y nur bis auf eine Integrationskonstante c bestimmt Konstante durch Anfangswert festgelegt

(vgl. Bilden von Stammfunktionen f (x , y (x )) = g (x )) Anfangswert y (1) = 2

c = − 1

2 , y (x ) = 2x 2x − 1 x ₀ = 0 Singularit¨ at

einziger m¨ oglicher Anfangswert y ₀ = 0, L¨ osungsschar nicht eingeschr¨ ankt

Beispiel:

Wachstumsmodell: proportionaler Zuwachs bzw. Abnahme u(t + ∆t) = u(t) + ∆t p u(t)

∆t → 0 Differentialgleichung u

⁰

(t) = pu(t) (u

⁰

proportional zu u)

L¨ osung

u(t) = u(0) exp(pt) exponentielles Wachstum

(2)

p > 0

p = 0 p < 0 c

u

t

Richtungsfeld

Das Richtungsfeld einer Differentialgleichung y

⁰

(x) = f (x , y (x ))

ordnet jedem Punkt der xy -Ebene eine Tangente mit Steigung f zu.

(x0, y0)

x y

Die Graphen der L¨ osungen sind in jedem Punkt (x , y ) zum Richtungsfeld tangential.

Ist eine Anfangsbedingung

y (x ₀ ) = y ₀

gegeben, so verl¨ auft der Graph durch den Punkt (x ₀ , y ₀ ).

Beispiel:

Die Abbildung zeigt zwei Beispiele von Richtungsfeldern, in denen jeweils einige L¨ osungen eingezeichnet sind.

0 5 10

π 2π 3π

x y

y^′= siny

0 1 2 3

1 2 3

x y

y^′=xy²

qualitatives Verhalten der L¨ osungen erkennbar

(3)

(i) Linke Differentialgleichung:

Rechte Seite h¨ angt nicht explizit von x ab.

L¨ osungen sind translationsinvariant, d.h. ist y (x ) L¨ osung, so auch y (x + c) mit c ∈ R .

Nullstellen des Sinus konstante L¨ osungen y (x ) = j π, j ∈ Z anziehend f¨ ur j = 2k + 1,

d.h. f¨ ur L¨ osungen y y (0) ∈ (2kπ, (2k + 2)π) gilt

x

lim

→∞

y (x ) − (2k + 1)π = 0 abstoßend f¨ ur j = 2k

(ii) Rechte Differentialgleichung:

Die Steigungen nehmen f¨ ur große Werte von x und y deutlich zu.

stark wachsende L¨ osungen

F¨ ur y (0) > 0 existiert jede L¨ osung nur auf einem endlichen Intervall.

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y

⁰

= py + q

mit der allgemeinen L¨ osung

y = y

_p

+ y

_h

.

Dabei ist y

_p

eine partikul¨ are (oder spezielle) L¨ osung und y

_h

die allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung (q(x ) = 0).

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichung erster Ordnung 6-1

Bezeichnet

P(x) = Z

p(x ) dx eine Stammfunktion von p, so gilt

y

_h

= c exp(P (x )) , mit einer beliebig w¨ ahlbaren Konstanten c ∈ R , und

y

_p

=

x

Z

x0

exp(P (x ) − P (s))q(s ) ds

ist eine partikul¨ are L¨ osung mit y

_p

(x ₀ ) = 0.

F¨ ur die allgemeine L¨ osung y = y

_p

+ y

_h

zu der Anfangsbedingung y (x ₀ ) = y ₀ ist

c = y ₀ exp( − P (x ₀ )) .

Beweis:

Ist y

_h

eine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung y

_h⁰

= py

_h

und P eine Stammfunktion von p, so gilt

[y

_h

exp( − P)]

⁰

= y

_h⁰

exp( − P) − y

_h

p exp( − P ) = 0 .

= ⇒ [ · · · ] = c mit einer Konstanten c , also y

_h

= c exp(P ) wie behauptet

Ansatz f¨ ur eine partikul¨ are L¨ osung

y

_p

= C (x ) exp(P (x )) (Variation der Konstanten)

(4)

Einsetzen von y

_p

in die Differentialgleichung

C

⁰

exp(P) + Cp exp(P ) = pC exp(P ) + q C

⁰

= q exp( − P)

und damit

y

_p

(x ) =





x

Z

x0

exp( − P(s))q(s ) ds



 exp(P(x ))

Beispiel:

Es soll die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung y

⁰

= 2x

1 + x ²

| {z }

p

y + x ³

|{z}

q

sowie die L¨ osung zu dem Anfangswert y (0) = 4 bestimmt werden.

Stammfunktion von p

P (x ) = ln(1 + x ² )

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung y

⁰

= py y

_h

(x ) = ce

^P(x)

= c(1 + x ² )

partikul¨ are L¨ osung:

y

_p

(x ) = Z

x

0 e ^ln(1+x

²

⁾

⁻

^ln(1+s

²

⁾ s ³ ds

= (1 + x ² ) 1

2 x ² − 1

2 ln(1 + x ² )

allgemeine L¨ osung

y = y

_p

+ y

_h

= (1 + x ² ) x ²

2 − ln(1 + x ² )

2 + c

mit c ∈ R

Anfangswert y (0) = 4 = ⇒ c = 4

Bernoullische Differentialgleichung

Die Differentialgleichung

u

⁰

+ pu = qu

^k

, k 6 = 0, 1 , l¨ asst sich durch die Substitution

y = u ¹

⁻^k

, y

⁰

= (1 − k)u

⁻^k

u

⁰

in die lineare Differentialgleichung

1 1 − k y

⁰

= − py + q

¨ uberf¨ uhren.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Bernoullische Differentialgleichung 9-1

(5)

Speziell erh¨ alt man f¨ ur konstantes p und q y = q

p + c exp(p(k − 1)x ) bzw.

u = q

p + c exp(p(k − 1)x )

_1−k¹

mit c ∈ R .

Beispiel:

Es soll die L¨ osung der Bernoullischen Differentialgleichung u

⁰

+ 3u = xu ² , u(0) = 1 ,

bestimmt werden.

Substitution y = 1/u bzw. u = 1/y

− y

⁻

² y

⁰

+ 3y

⁻

¹ = xy

⁻

² ⇔ y

⁰

= 3y − x allgemeine L¨ osung

y =

x

Z

0 e ^3x

⁻

^3s ( − s )ds + ce ^3x

Anfangsbedingung y (0) = 1/u(0) = 1 und Integration = ⇒ c = 1 und

y = 8

9 e ^3x + 1 3 x + 1

9 u = 9

8e ^3x + 3x + 1

Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

F¨ ur einen konstanten Koeffizienten p kann die Differentialgleichung y

⁰

= py + q

f¨ ur bestimmte Funktionen q (x ) durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten gel¨ ost werden oder eine partikul¨ are L¨ osung y

_p

ist unmittelbar ersichtlich.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 11-1

Einige gebr¨ auchliche F¨ alle sind q(x ) = P

n

j=0

c

_j

x

^j

→ y

_p

= P

n

j=0

d

_j

x

^j

f¨ ur p 6 = 0 q(x ) = c exp(λx ), λ 6 = p → y

_p

= c

λ − p exp(λx ) q(x ) = c exp(px ) → y

_p

= cx exp(px )

q(x ) = a cos(ωx ) + b sin(ωx ) → y

_p

= c cos(ωx ) + d sin(ωx ) Die allgemeine L¨ osung ist

y = y

_p

+ c exp(px ) .

(6)

Beweis:

Polynom q:

Ableitung des Ansatzes und Indexverschiebung y

_p⁰

=

n

X

j

=1

d

_j

jx

^j⁻

¹ =

n−

1 X

j=0

(j + 1)d

_j+1

x

^j

Einsetzen in die Differentialgleichung

n−

1 X

j=0

(j + 1)d

_j

₊₁ x

^j

= p

n

X

j=0

d

_j

x

^j

| {z }

yp

+

n

X

j

=0

c

_j

x

^j

Koeffizientenvergleich d

_n

= − c

_n

p , d

_j

= − c

_j

p + (j + 1)d

_j

₊₁

p , j = n − 1 , . . . , 0 Exponentialfunktionen q:

direktes Nachrechnen

Trigonometrischer Ausdruck:

Einsetzen in die Differentialgleichung

− cω sin(ωx ) + d ω cos(ωx ) =

p(c cos(ωx ) + d sin(ωx)) + a cos(ωx ) + b sin(ωx ) Vergleich der Koeffizienten von cos(ωx ) und sin(ωx )

lineares Gleichungssystem f¨ ur c und d : a = − pc + ωd , b = − ωc − pd (Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null)

Beispiel:

Bei einer gleichf¨ ormig beschleunigten Bewegung mit Reibung gilt f¨ ur die Geschwindigkeit v (t)

mv

⁰

= − αv − γm, v (0) = v ₀ . allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung

v

_h

= c exp

− α m t mit c ∈ R

partikul¨ are L¨ osung

v

_p

= − γm α

Anfangsbedingung v (0) = v ₀ c = v ₀ + γm/α und v (t) = v

_p

(t) + v

_h

(t) = − γm

α +

v ₀ + γ m α

exp

− α m t

Separable Differentialgleichung

Eine separable Differentialgleichung

y

⁰

= p(x )g (y ) ,

l¨ asst sich durch Trennung der Variablen und separates Bilden von Stammfunktionen l¨ osen:

Z dy g(y ) =

Z

p(x ) dx .

Die Integrationskonstante kann dabei durch eine Anfangsbedingung y (x ₀ ) = y ₀

festgelegt werden.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Separable Differentialgleichung 14-1

(7)

Beispiel:

Die Differentialgleichung

u

⁰

= p(1 − u)u, p > 0 ,

modelliert ein Wachstum, das bei zunehmender Dichte (u(t) % 1) abnimmt (logistisches Modell).

u

t c <0

c >0 c= 0

Die Abbildung zeigt das Richtungsfeld f¨ ur p = 1 sowie einige der L¨ osungen u = e

^pt

c + e

^pt

. L¨ osung durch Separation der Variablen:

Z du u (1 − u) =

Z p dt Partialbruchzerlegung

1 u(1 − u) = 1 u − 1

u − 1 ln

u u − 1

= pt + c

⁰

⇔ u

u − 1 = ± e

^pt+c⁰

mit einer Integrationskonstante c

⁰

∈ R

Aufl¨ osen nach u behauptete Formel f¨ ur u mit c = ∓ e

⁻^c⁰

Ahnlichkeitsdifferentialgleichung ¨

Eine Differentialgleichung

y

⁰

= f (y /x ) ,

bei der die rechte Seite nur vom Quotienten y /x abh¨ angt, l¨ asst sich durch die Substitution

xz(x ) = y (x ), z + xz

⁰

= f (z ) in die separable Differentialgleichung

z

⁰

= 1

x (f (z) − z) uberf¨ ¨ uhren.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Ahnlichkeitsdifferentialgleichung¨ 16-1

Beispiel:

Anfangswertproblem

y

⁰

= y ² + x ²

yx , y (1) = 2 K¨ urzen durch x ² rechte Seite in homogener Form

y ² /x ² + 1

y /x = f (y /x ) Substitution xz = y

z

⁰

= 1

x (f (z) − z ) = 1 x

z ² + 1 z − z

= 1 xz

(8)

Separation der Variablen

zz

⁰

= 1 x Integration

1 2 z ² = ln | x | + c

Ber¨ ucksichtigung des Anfangswertes y (1) = z(1) = 2 = ⇒ c = 2 und y = xz = x p

2 ln | x | + 4

(z = −√ . . . entspricht nicht dem vorgegebenen Anfangswert.)

Exakte Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

q(x , y )y

⁰

+ p(x , y ) = 0 heißt exakt, wenn eine Stammfunktion F existiert mit

p = F

_x

, q = F

_y

⇔ (p , q) ^t = grad F .

Die L¨ osungen lassen sich dann implizit als Niveaulinien darstellen, F (x , y ) = c ,

wobei die Konstante c durch eine Anfangsbedingung festgelegt werden kann.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Exakte Differentialgleichung 18-1

Man schreibt eine exakte Differentialgleichung oft auch in der Form pdx + qdy = 0 ,

um die symmetrische Behandlung der Variablen x und y hervorzuheben.

In Anlehnung an die Theorie der Arbeitsintegrale ist bei stetig differenzierbaren Funktionen p und q die Integrabilit¨ atsbedingung

p

_y

= q

_x

notwendig f¨ ur die Existenz von F . Sie ist hinreichend, falls das betrachtete Definitionsgebiet einfach zusammenh¨ angend ist.

Beweis:

Existenz der Stammfunktion, Kettenregel = ⇒ d

dx F (x, y (x )) = F

_x

(x, y (x )) + F

_y

(x , y (x ))y

⁰

(x ) , d.h. die Niveaulinien entsprechen L¨ osungen:

F = c = ⇒ p + qy

⁰

= 0 Vertauschbarkeit partieller Ableitungen = ⇒

p

_y

= F

_xy

= F

_yx

= q

_x

, d.h. die Notwendigkeit der Integrabilit¨ atsbedingung

(9)

F¨ ur ein einfach zusammenh¨ angendes Parametergebiet ist eine Stammfunktion F als Arbeitsintegral darstellbar:

F (x , y ) = Z

C

p dx + q dy , C : (x ₀ , y ₀ ) → (x , y ) mit einem Weg C , der einen fest gew¨ ahlten Punkt (x ₀ , y ₀ ) mit (x , y ) verbindet

Die Wegunabh¨ angigkeit ist durch die Integrabilit¨ atsbedingung garantiert.

Parametrisierung

C : [a , b] 3 t 7→ (u(t) , v (t)) explizite Form f¨ ur F :

F (x , y ) =

b

Z

a

p(u(t), v (t))u

⁰

(t) + q(u(t), v (t))v

⁰

(t) dt

Beispiel:

exakte Differentialgleichung (6x − 2y )

| {z }

q

y

⁰

+ 7x + 6y

| {z }

p

= 0 pr¨ ufe die Integrabilit¨ atsbedingung:

q

_x

= 6 = p

_y

X

p und q auf ganz R ² definiert = ⇒ Existenz einer Stammfunktion Konstruktion durch achsenparallele Integration

q = F

_y

= ⇒

F = Z

6x − 2y dy = 6xy − y ² + ϕ(x ) Einsetzen in p = F

_x

= ⇒

7x + 6y = 6y + ϕ

⁰

(x ), ϕ(x ) = 7 2 x ² + C

allgemeine L¨ osung F (x , y ) = 7

2 x ² + 6xy − y ² = c ⇔ y = 3x ± q

− c + 25x ² /2

(0, 0)

y = (3 −

⁵₂

√ 2)x y = (3 +

⁵₂

√

2)x

x y

Niveaulinien von F :

Hyperbeln mit Hauptachsenrichtungen (2, 1) ^t und ( − 1, 2) ^t

Integrierender Faktor

Wird eine Differentialgleichung

p(x , y )dx + q(x , y )dy = 0

durch Multiplikation mit einer Funktion a(x , y ) exakt, d.h. ist (ap)

_y

= (aq)

_x

,

so bezeichnet man a als integrierenden Faktor.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Integrierender Faktor 21-1

(10)

Beispiel:

y

|{z}

p

+ x (2xy − 1)

| {z }

q

y

⁰

= 0 nicht exakt, denn p

_y

= 1 6 = 4xy − 1 = q

_x

Multiplikation mit dem integrierenden Faktor 1/x ² exakte Differentialgleichung

y /x ²

| {z }

˜

p

+ (2y − 1/x )

| {z }

˜

q

y

⁰

= 0, p ˜

_y

= 1/x ² = ˜ q

_x

Implizite Darstellung der L¨ osung

F (x , y ) = y ² − y /x = c Best¨ atigung durch ¨ Uberpr¨ ufung der Identit¨ at

grad F = (y /x ² , 2y − 1/x ) ^{t !} = ( ˜ p, q) ˜ ^t X

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Integrierender Faktor 22-1

Beispiel:

Die Differentialgleichung

h

⁰⁰

= − ω ² h + f

beschreibt die Auslenkung einer Feder unter einer Kraft f .

h(t)

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Linearer Oszillator 23-1

allgemeine L¨ osung f¨ ur f (t) = − g

h(t) = c ₁ sin(ωt) + c ₂ cos(ωt) − 1 ω ² g

Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen z.B.: h(0) = 0, h

⁰

(0) = g = ⇒

h(t) = g

ω ² (ω sin(ωt) + cos(ωt) − 1)

Linearer Oszillator

Die Auslenkung u(t) eines linearen Oszillators bei periodischer Anregung wird durch die Differentialgleichung

u

⁰⁰

+ ω ₀ ² u = c cos(ωt), ω 0 > 0 , beschrieben.

Die allgemeine L¨ osung setzt sich aus einer freien und einer erzwungenen Schwingung zusammen, u = u

_h

+ u

_p

, wobei

u

_h

(t) = a cos(ω ₀ t ) + b sin(ω ₀ t) und

u

_p

(t) = c

ω ² − ω ₀ ² (cos(ω 0 t) − cos(ωt)), ω 6 = ω 0 ,

(11)

sowie

u

_p

(t) = c

2ω t sin( ω t) im Resonanzfall ω = ω 0 .

Die Konstanten a, b k¨ onnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden:

a = u(0) , b = u

⁰

(0) /ω 0 .

Beweis:

cos(ω 0 t), sin(ω 0 t) erf¨ ullen die homogene Differentialgleichung u

⁰⁰

+ ω ² ₀ u = 0 .

Linearkombination L¨ osung u

_h

der Differentialgleichung mit c = 0 Direktes Nachrechnen L¨ osung u

_p

der Differentialgleichung

ω 6 = ω 0 : d ²

dt ² cos(ωt) + ω ² ₀ cos(ωt) = (ω ² ₀ − ω ² ) cos(ωt) Multiplikation mit c / (w ₀ ² − w ² ) rechte Seite c cos( ω t) addiere (c /(ω ² − ω ² ₀ )) cos(ω 0 t)

partikul¨ are L¨ osung mit doppelter Nullstelle bei t = 0:

u

_p

= c cos(ω 0 t) − cos(ωt) ω ² − ω ² ₀

ω = ω 0 :

Grenz¨ ubergang ω 0 → ω

ω

lim

0→ω

c cos(ω 0 t) − cos(ωt) ω ² − ω ₀ ²

L’Hospital

= lim

ω0→ω

c − t sin(ω 0 t)

− 2ω 0

(Differentiation nach ω ₀ )

doppelte Nullstelle der partikul¨ aren L¨ osungen bei t = 0

= ⇒ Bestimmung von a und b aus den Anfgangswerten von u

_h

Beispiel:

F¨ ur die Differentialgleichung

u

⁰⁰

+ 4u = 3 cos t ist ω ₀ = 2, ω = 1 und c = 3.

allgemeine L¨ osung:

u(t) = a cos( ω 0 t) + b sin( ω 0 t)

| {z }

uh

+ c cos( ω 0 t) − cos( ω t) ω ² − ω ² ₀

| {z }

up

= a cos(2t) + b sin(2t) + 3

1 − 4 (cos(2t) − cos t) mit a, b ∈ R

(12)

0 2π 4π 6π 8π 10π 12π

− 3

− 2

− 1 0 1 2 3

u

t

Anfangswerte

u(0) = 0, u

⁰

(0) = 2 abgebildete (2π)-periodische L¨ osung

u(t) = sin(2t) − cos(2t) + cos t mit a = u(0) = 0 und b = u

⁰

(0)/ω ₀ = 2/2 = 1

Beispiel:

F¨ ur die Differentialgleichung

u

⁰⁰

+ u = 2 cos t ist ω 0 = ω = 1 (Resonanz), c = 2.

allgemeine L¨ osung

u = a cos( ω t) + b sin( ω t)

| {z }

uh

+ c 2ω t sin t

| {z }

up

= a cos t + b sin t + t sin t mit a , b ∈ R

0 2π 4π 6π 8π 10π 12π

−30

−20

−10 0 10 20 30

u

t

Anfangswerte

u(0) = 3, u

⁰

(0) = 0 abgebildete L¨ osung

u(t) = 3 cos t + t sin t mit a = u(0) = 3 und b = u

⁰

(0)/ω = 0

Resonanz lineares Wachstum

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Die L¨ osung der Differentialgleichung

u

⁰⁰

(t) + pu

⁰

(t) + qu(t) = 0

mit p, q ∈ R hat je nach Typ der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

λ ² + pλ + q folgende Form:

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 28-1

(13)

zwei reelle Nullstellen λ 1 6 = λ 2 :

u(t) = a exp(λ 1 t) + b exp(λ 2 t)

eine doppelte Nullstelle λ:

u(t) = a exp(λt) + bt exp(λt)

zwei komplex konjugierte Nullstellen − p/2 ± %i:

u(t) = exp

− pt 2

(a cos(%t) + b sin(%t))

Die Konstanten a , b k¨ onnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden.

Koeffizienten 28-2

Beweis:

Einsetzen des Ansatzes u(t) = exp(λt) in die Differentialgleichung λ ² exp( λ t) + p λ exp( λ t) + q exp( λ t) = 0

= ⇒ charakteristisches Polynom λ ² + pλ + q = 0 (i) zwei verschiedene Nullstellen λ

_j

:

linear unabh¨ angige L¨ osungen

exp(λ

j

t), j = 1, 2

f¨ ur λ = − p/2 ± %i, reelle L¨ osungen durch Bilden von Linearkombinationen:

1 2 (exp(( − p/2 + %i)t) + exp(( − p/2 − %i)t)) = exp( − pt/2) cos(%t) 1

2i (exp(( − p/2 + %i)t) − exp(( − p/2 − %i)t)) = exp( − pt/2) sin(%t)

Koeffizienten 29-1

(ii) doppelte Nullstelle λ:

2λ + p = 0 (charakteristisches Polynom ableiten) zweite, linear unabh¨ angige L¨ osung t exp(λt):

d dt

2 (t exp(λt)) + p d

dt (t exp(λt)) + qt exp(λt)

= [2λ exp(λt) + λ ² t exp(λt)] + [p exp(λt) + pλt exp(λt)] + [qt exp(λt)]

= (2λ + p) + (λ ² + pλ + q)t

exp(λt) = 0

Koeffizienten 29-2

Beispiel:

Anfangswertproblem

u

⁰⁰

− 2u

⁰

− 8u = 0, u(0) = 2, u

⁰

(0) = 2 charakteristisches Polynom

λ ² − 2λ − 8 mit den Nullstellen

λ ₁ = − 2, λ ₂ = 4 allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung

a exp( − 2t) + b exp(4t) mit a, b ∈ R

Koeffizienten 30-1

(14)

Anfangsbedingungen lineares Gleichungssystem 2 = u(0) = a + b 2 = u

⁰

(0) = − 2a + 4b

= ⇒ a = b = 1, d.h.

u(t) = exp( − 2t) + exp(4t )

Koeffizienten 30-2

Beispiel:

Anfangswertproblem

u

⁰⁰

− 2u

⁰

+ u = 0 , u(0) = 1 , u

⁰

(0) = 0 charakteristisches Polynom

λ ² − 2λ + 1 mit der doppelten Nullstelle

λ 1,2 = 1 allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung

(a + bt ) exp(t) mit a, b ∈ R

Koeffizienten 31-1

Anfangsbedingungen lineares Gleichungssystem u(0) = 1 = a

u

⁰

(0) = 0 = a + b

= ⇒ a = 1, b = − 1, d.h.

u(t) = (1 − t) exp(t)

Koeffizienten 31-2

Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

F¨ ur bestimmte rechte Seiten f kann eine partikul¨ are L¨ osung u der Differentialgleichung

u

⁰⁰

(t) + pu

⁰

(t) + qu(t) = f (t)

durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden.

Einige gebr¨ auchliche F¨ alle sind Polynome:

f (t) =

n

X

j=0

c

_j

t

^j

→ u(t) =

n

X

j=0

u

_j

t

^j

, falls q 6 = 0 .

Falls q = 0, muss u mit t multipliziert werden. Ist zus¨ atzlich p = 0, so ist eine weitere Multiplikation mit t erforderlich.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare

Differentialgleichungen zweiter Ordnung 32-1

(15)

Exponentialfunktionen:

f (t) = exp(λt) → u(t) = c exp(λt) , falls λ ² + pλ + q 6 = 0.

Ist λ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss c durch ct (ct ² ) ersetzt werden.

Trigonometrische Funktionen:

f (t) = exp(αt)(c 1 sin(ωt ) + c ₂ cos(ωt))

→ u(t) = exp(αt)(a sin(ωt) + b cos(ωt))

Sind α ± iω Nullstellen des charakteristischen Polynoms, muss u mit t multipliziert werden.

Treten gemischte Terme auf, so ist die Superposition der entsprechenden Ans¨ atze m¨ oglich.

Beispiel:

Differentialgleichung

u

⁰⁰

− 3u

⁰

− 4u = t + exp(2t) + cos(3t) charakteristisches Polynom

λ ² − 3λ − 4 = (λ + 1)(λ − 4) mit den Nullstellen λ 1 = − 1 und λ 2 = 4

keine Sonderf¨ alle, da λ

k

6 = 0, 2, ± 3i Standardansatz

u(t) = [a + bt] + [c exp(2t)] + [e cos(3t) + f sin(3t)]

Einsetzen in die Differentialgleichung u

⁰⁰

− 3u

⁰

− 4u =

[ − 3b − 4a − 4bt ] + [(4c − 6c − 4c ) exp(2t)]

+[( − 9e − 9f − 4e ) cos(3t) + ( − 9f + 9e − 4f ) sin(3t)] = [ − 3b − 4a − 4bt ] + [ − 6c exp(2t)]

+[( − 13e − 9f ) cos(3t) + (9e − 13f ) sin(3t)]

Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite t + exp(2t) + cos(3t)

− 4a − 3b = 0

− 4b = 1

− 6c = 1

− 13e − 9f = 1 9e − 13f = 0

= ⇒ b = − 1/4, a = 3/16, c = − 1/6, e = − 13/250, f = − 9/250

partikul¨ are L¨ osung u

_p

(t) = 3

16 − 1 4 t − 1

6 exp(2t) − 13

250 cos(3t) − 9

250 sin(3t) L¨ osung der homogenen Differentialgleichung

u

_h

(t) = α exp( − t) + β exp(4t) allgemeine L¨ osung u = u

_p

+ u

_h

(16)

Beispiel:

Anfangswertproblem

u

⁰⁰

− 2u

⁰

+ u = exp(t) , u(0) = 0 , u

⁰

(0) = 3 charakteristisches Polynom

λ ² − 2λ + 1 = (λ − 1) ² mit der doppelten Nullstelle λ = 1

Sonderfall Ansatz

u(t ) = (a + bt + ct ² ) exp(t)

Einbeziehung der allgemeinen L¨ osung der homogenen Differentialgleichung durch die Koeffizienten a und b

Anfangsbedingungen

u(0) = 0 = a, u

⁰

(0) = 3 = a + b , d.h. a = 0, b = 3 und u(t) = (3t + ct ² ) exp(t)

Einsetzen in die Differentialgleichung

exp(t) = [2c + 2(3 + 2ct) + (3t + ct ² )]

− 2[(3 + 2ct) + (3t + ct ² )] + [3t + ct ² ] exp(t)

= 2c exp(t)

= ⇒ c = 1/2, d.h.

u(t) = (3t + t ² /2) exp(t) l¨ ost das Anfangswertproblem

Ged¨ ampfte harmonische Schwingung

Die Differentialgleichung

u

⁰⁰

+ 2ru

⁰

+ ω ² ₀ u = c cos(ωt)

mit r > 0 modelliert sowohl eine elastische Feder als auch einen elektrischen Schwingkreis.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 35-1

Kraft f

D¨ampfer c

Masse m

Feder k

2r = c

m , ω ₀ ² = k m

Widerstand R

V Kondensator C

Spule L

2r = R

L , ω ₀ ² = 1 LC

(17)

Je nach Typ der L¨ osungen u

_h

der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man

starke D¨ ampfung (r > ω 0 ):

u

_h

= a exp(λ 1 t) + b exp(λ 2 t) mit λ 1,2 = − r ± q

r ² − ω ² ₀ kritische D¨ ampfung (r = ω 0 ):

u

_h

= (a + bt) exp( − rt )

schwache D¨ ampfung (r < ω 0 ):

u

_h

= exp( − rt ) (a cos(λt) + b sin(λt)) mit λ =

q

ω ₀ ² − r ² .

Eine partikul¨ are L¨ osung ist

u

_p

(t) = c

⁰

cos(ωt + δ) mit der Amplitude

c

⁰

= c/

q

(ω ₀ ² − ω ² ) ² + (2rω) ² und der Phase

δ = arg(ω ² ₀ − ω ² − i2r ω)

Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung erh¨ alt man durch Addition von u

_h

:

u = u

_p

+ u

_h

.

u

t u

t

u

t u

t

Das qualitative Verhalten von L¨ osungen kann sehr unterschiedlich sein.

Beweis:

(i) L¨ osung der homogenen Differentialgleichung:

Der Typ der L¨ osungen ist durch das charakteristische Polynom λ ² + 2r λ + ω ² ₀ bestimmt.

(ii) Partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung:

Einsetzen von

u

_p

= Re c

⁰

exp(iωt + iδ) Re c

⁰

exp(iδ)( − ω ² + 2rωi + ω ² ₀ ) exp(iωt)

= c cos(ωt) cos(ωt) = Re exp(iωt) = ⇒

ω ² ₀ − ω ² + 2rωi = c

c

⁰

exp( − iδ) , d.h.

c

⁰

= c

| ω ² ₀ − ω ² + 2rωi | , δ = arg ω ₀ ² − ω ² + 2rωi

(18)

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

⁰⁰

+ 5u

⁰

+ 6u = 2 cos t 2r = 5, ω 0 = √

6, ω = 1, c = 2) starke D¨ ampfung: r > ω 0

Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ ² + 5λ + 6:

λ 1,2 = − 5 ± 1 2

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung u

_h

= a exp( − 3t) + b exp( − 2t)

partikul¨ are L¨ osung

u

_p

= c

⁰

cos(ωt + δ) mit

c

⁰

= c

q

(ω ₀ ² − ω ² ) ² + (2rω) ²

= 2

p (6 − 1) ² + (5 · 1) ² = 2 5 √

2 δ = arg(ω ² ₀ − ω ² − 2rωi) = arg((6 − 1) − (5 · 1)i) = − π

4 d.h.

u = u

_h

+ u

_p

= a exp( − 3t) + b exp( − 2t) + 2 5 √

2 cos(t − π/4)

Anfangsbedingungen

u(0) = 6

5 , u

⁰

(0) = 6 5 u(t) = − 3 exp( − 3t) + 4 exp( − 2t) + 2

5 √

2 cos(t − π/4)

0 π 2π 3π 4π

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t u

starke D¨ ampfung schneller ¨ Ubergang in eine harmonische Schwingung

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

⁰⁰

+ 2ω 0 u

⁰

+ ω ₀ ² u = 0 kritische D¨ ampfung: r = ω 0

u

_h

= (a + bt ) exp( − ω ₀ t) starkes Anfangswachstum m¨ oglich

t u

a=u(0) u(t_∗)

t_∗

(19)

ω 0 = 1

u(t) = (a + bt) exp( − t) maximal f¨ ur t

_∗

=

^b⁻_b^a

und

| u(t

_∗

) |

| u(0) | = b a exp

a b − 1

→ ∞ f¨ ur a/b → 0

(hohe Spannungen beim Ausschalten von Stromkreisen!)

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

⁰⁰

+ 2u

⁰

+ 50u = e

^iωt

schwache D¨ ampfung: 1 = r < ω 0 = √

50 charakteristisches Polynom λ ² + 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ _1,2 = − 1 ± 7i

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung u

_h

= e

⁻^t

(a cos(7t) + b sin(7t))

partikul¨ are L¨ osung

u

_p

= ce

^iωt

Einsetzen in die Differentialgleichung

c = 1

− ω ² + 2ωi + 50

Real- und Imagin¨ arteil von u = u

_h

+ u

_p

f¨ ur a = 1/10 , b = 0 , ω = 3 schwache D¨ ampfung langsames Abklingen des homogenen L¨ osungsanteils

Re u Im u

0 π 2π 3π 4π

−0.1

− 0.05 0 0.05 0.1 0.15

t u

Betrag der komplexen Amplitude

| c | = 1

| (ω ² ₀ − ω ² ) + 2ωi | = 1

p (50 − ω ² ) ² + (2ω) ² maximal f¨ ur ω

_∗

= √

48, denn W = ω ² , 0 = d

dW (50 − W ) ² + 4W = − 2(50 − W ) + 4 = ⇒ W = 48 relativ kleiner D¨ ampfungskoeffizient 2r = 2

= ⇒ Resonanzfrequenz ω

_∗

nahe bei ω ₀ = √ 50

(20)

Phasenebene

Die L¨ osungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung, u

⁰⁰

= f (u, u

⁰

) ,

k¨ onnen als Kurven

t 7→ (u(t ), v (t)), v = u

⁰

,

in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verl¨ auft f¨ ur eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u ₀ , v ₀ ) genau eine L¨ osungskurve.

Punkte (u ₀ , 0) mit f (u ₀ , 0) = 0 sind kritische Punkte der

Differentialgleichung, die konstanten L¨ osungen u(t) = u ₀ entsprechen.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Phasenebene 40-1

u u^′

Fasst man v = du/dt als Funktion von u auf, so ist u

⁰⁰

= v

⁰

= dv /dt = (dv /du)(du/dt ) und man erh¨ alt eine Differentialgleichung erster Ordnung

dv

du v = f (u, v ) ,

die die L¨ osungskurven in der Phasenebene unmittelbar beschreibt.

Beispiel:

Phasenebenen f¨ ur die Bewegungsgleichung eines ged¨ ampften Pendels und die approximierende lineare Schwingungsgleichung

u u^′

u^′′=−sinu−u^′

u u^′

u^′′=−u−u^′

kleine Auslenkungen von u gute ¨ Ubereinstimmung

globales qualitatives Verhalten unterschiedlich; mehrere kritische Punkte f¨ ur die Pendelgleichung

Energieerhaltung

Die Differentialgleichung

u

⁰⁰

+ Φ

⁰

(u) = 0

beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential Φ induzierten Kraftfeld.

F¨ ur die L¨ osung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie konstant:

E = 1

2 v ² + Φ(u), v = u

⁰

.

Die L¨ osungskurven in der Phasenebene entsprechen also konstanten Energieniveaus E.

(21)

Beispiel:

Differentialgleichung f¨ ur die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels ϑ

⁰⁰

= − sin ϑ

potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ Gesamtenergie E = 1

2 (ϑ

⁰

) ² − cos ϑ bzw. ϑ

⁰

= ± p

2(E + cos ϑ)

ϑ(t)

ϑ ϑ^′

E >1 E= 1 E <1

0 π 2π 3π 4π

−3

−2

−1 0 1 2 3

Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene F¨ alle

E < 1: L¨ osungen periodisch, da cos ϑ 6 = − 1 (maximaler Wert ϑ max = arccos( − E))

Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max

T = 4

ϑmax

Z

0 dt

d ϑ d ϑ , dt

d ϑ = (ϑ

⁰

)

⁻

¹ = 1

p 2(cos ϑ − cos ϑ _max ) (E = − cos ϑ max )

E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ

⁰

wird nie null; das Pendel schwingt

¨ uber.

E = 1: Das Pendel n¨ ahert sich dem instabilen h¨ ochsten Punkt, ohne ihn in endlicher Zeit zu erreichen.

Beispiel:

auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde F = − γ mM

r ² m und M: Massen von Rakete und Erde γ > 0: Gravitationskonstante

r : Abstand zum Erdmittelpunkt

Bewegungsgleichung nach dem “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung r

⁰⁰

= − γM

r ² Anfangsbedingungen

r(0) = R , r

⁰

(0) = v R und v : Flugh¨ ohe und Geschwindigkeit bei “Burnout”

E < 0

E > 0

r r

^′

L¨ osungskurven f¨ ur verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km (Erdradius)

konstante Energieniveaus

E = 1

2 (r

⁰

) ² − γ M r

(22)

E < 0: maximale Flugh¨ ohe

r

_max

= − γM E E ≥ 0: Flugh¨ ohe unbeschr¨ ankt

kritische Startgeschwindigkeit v

_∗

(fett gezeichnete L¨ osungskurve) 1

2 v

_∗

² − γM

R = E = 0 d.h. v

_∗

=

q 2γ

^M_R

(r

⁰

(t) → 0 f¨ ur t → ∞ )

System von Differentialgleichungen erster Ordnung

Die Standardform eines Systems von Differentialgleichungen ist u

⁰

(t) = f (t, u(t))

mit der Anfangsbedingung u(t ₀ ) = a. Dabei ist u = (u ₁ , . . . , u

_n

) ^t und f : R × R

ⁿ

→ R

ⁿ

.

H¨ angt die Funktion f nicht explizit von t ab, so spricht man von einem autonomen System.

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform System von Differentialgleichungen erster Ordnung 45-1

Beispiel:

Lorenz-System

u ₁

⁰

= − αu 1 + αu 2

u ₂

⁰

= − u ₁ u ₃ + β u ₁ − u ₂ u ₃

⁰

= u ₁ u ₂ − γu 3

geeignete Parameterwahl “Strange Attractor”,

d.h. Konvergenz beschr¨ ankter L¨ osungskurven gegen eine fraktale Menge

u2

u1

−15 −5 5 15

−40

−20 0 20 40

u3

u1

−15 −5 5 15 0

10 20 30 40 50

u3

u2

−30 −10 10 30 0

10 20 30 40 50

verschiedene Perspektiven des Attractors f¨ ur α = 10, β = 28 und γ = 8/3

(23)

Transformation eines Differentialgleichungssystems auf Standardform

F¨ ur eine Differentialgleichung n-ter Ordnung

y ⁽ⁿ⁾ (t) = g (t, y (t), . . . , y ⁽ⁿ

⁻

¹⁾ (t)) setzt man

u(t) = (y (t), . . . , y ⁽ⁿ

⁻

¹⁾ (t)) und erh¨ alt ein ¨ aquivalentes System erster Ordnung:

u ₁

⁰

= u ₂ .. . u

⁰_n₋

₁ = u

_n

u

_n⁰

= g (t, u(t)) .

F¨ ur ein System von Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung verf¨ ahrt man analog.

Durch Einf¨ uhren einer weiteren zus¨ atzlichen Variablen u

_n+1

(t) = t und der trivialen Differentialgleichung u

_n+1⁰

= 1 ließe sich auch die explizite

Abh¨ angigkeit der rechten Seite von t eliminieren, und man erhielte das autonome System

(u ₁ , . . . , u

_n+1

)

⁰

= g (u

_n+1

, u ₁ ◦ u

_n+1

, . . . , u

_n

◦ u

_n+1

) . Diese Umformung ist jedoch weniger gebr¨ auchlich.

Beispiel:

Die Differentialgleichung

ϕ

⁰⁰

= f (t) − rϕ

⁰

− sin ϕ

beschreibt eine erzwungene Schwingung eines Pendels, wobei r > 0 den Reibungskoeffizienten und f (t) die ¨ außere Kraft bezeichnet.

Substitution (u ₁ , u ₂ ) = (ϕ, ϕ

⁰

) System erster Ordnung:

u

⁰

₁ = u ₂

u

⁰

₂ = f (t) − ru ₂ − sin u ₁

Einf¨ uhren der weiteren Variable u ₃ (t) = t und der zus¨ atzlichen trivialen Gleichung

u

⁰

₃ = 1 autonomes System

Beispiel:

Drei-K¨ orper Problem:

Differentialgleichungen f¨ ur die Bahnkurven t → P

_j

(t) ∈ R ³ von Himmelsk¨ orpern unter dem Einfluß von Gravitationskr¨ aften

P ₁

⁰⁰

= γ m ₂ (P ₂ − P ₁ ) | P ₂ − P ₁ |

⁻

³ + γm ₃ (P ₃ − P ₁ ) | P ₃ − P ₁ |

⁻

³ P ₂

⁰⁰

= γ m ₁ (P ₁ − P ₂ ) | P ₁ − P ₂ |

⁻

³ + γm 3 (P ₃ − P ₂ ) | P ₃ − P ₂ |

⁻

³ P ₃

⁰⁰

= γ m ₁ (P ₁ − P ₃ ) | P ₁ − P ₃ |

⁻

³ + γm ₂ (P ₂ − P ₃ ) | P ₂ − P ₃ |

⁻

³ mit γ = 3.993N km ² kg

⁻

¹ der Gravitationskonstante und m

_k

den Massen der K¨ orper

(24)

x 1

x ₂ x 3

Transformation auf Standardform durch Einf¨ uhren von zus¨ atzlichen Variablen



 u ₁ u ₂ u ₃



 = P ₁ ,



 u ₇ u ₈ u ₉



 = P ₂ ,



 u ₁₃ u ₁₄ u ₁₅



 = P ₃



 u ₄ u ₅ u ₆



 = P ₁

⁰

,



 u ₁₀ u ₁₁ u ₁₂



 = P ₂

⁰

,



 u ₁₆ u ₁₇ u ₁₈



 = P ₃

⁰

System von 18 Differentialgleichungen erster Ordnung zus¨ atzliche Differentialgleichungen f¨ ur die Hilfsvariablen

u

⁰

_6(j

₋

_1)+k = u _6(j

₋

_1)+k+3 , j , k = 1, 2, 3

Satz von Peano

F¨ ur eine in einer offenen Umgebung D von (t ₀ , a) ∈ R × R

ⁿ

stetige Funktion f hat das Anfangswertproblem

u

⁰

(t) = f (t, u(t)), u(t ₀ ) = a

mindestens eine stetig differenzierbare L¨ osung (u ₁ , . . . , u

_n

) ^t in einer Umgebung (t

₋

, t ₊ ) von t ₀ .

Wie in der Abbildung illustriert ist, verl¨ auft die L¨ osungskurve bis zum Rand von D. Ist die u-Komponente von D unbeschr¨ ankt, ist dabei insbesondere der Fall | u(t) | → ∞ m¨ oglich.

Standardform Satz von Peano 50-1

(t

₀

, a) u

t

₊

t t

₋

D

(25)

Beispiel:

(i) Keine eindeutige L¨ osung:

u

⁰

= 2 p

| u | , u(0) = 0 L¨ osungen

u

_τ

=

0, x ≤ τ (x − τ ) ² , x ≥ τ f¨ ur beliebiges τ ≥ 0 bzw. (Symmetrie)

u

_τ

=

0 , x ≥ τ

− (τ − x ) ² , x ≤ τ f¨ ur τ ≤ 0

(ii) Kleines Existenzintervall:

u

⁰

= u ² , u(0) = 1 L¨ osung

u(t) = 1 1 − t singul¨ ar f¨ ur t → 1

Eindeutigkeit der L¨ osung von Differentialgleichungssystemen

Ist f (t, u) in einer Umgebung [t ₀ − δ, t ₀ + δ] × D von (t ₀ , a) ∈ R × R

ⁿ

Lipschitz-stetig bzgl. (u ₁ , . . . , u

_n

) ^t , d.h. gilt

| f (t, u ) − f (t, u) ˜ | ≤ L | u − u ˜ | , f¨ ur | t − t ₀ | ≤ δ und u, u ˜ ∈ D, dann ist eine L¨ osung des Anfangswertproblems

u

⁰

(t) = f (t, u(t)), u(t ₀ ) = a mit Werten in D eindeutig.

In Verbindung mit dem Satz von Peano garantiert also die

Lipschitz-Stetigkeit von f die lokale Existenz einer eindeutigen L¨ osung auf einem Intervall (t ₀ − δ

₋

, t ₀ + δ + ) mit 0 < δ

_±

≤ δ .

Standardform Eindeutigkeit der L¨osung 52-1

Beweis:

betrachte f¨ ur zwei L¨ osungen u und ˜ u die Differenz u

⁰

(t) − u ˜

⁰

(t) = f (t, u(t)) − f (t, u(t)) ˜

Integration, Lipschitz-Bedingung f¨ ur | t − t ₀ | ≤ ∆ = min(δ, 1/(2L)) = ⇒

| u(t) − u(t) ˜ | =

t

Z

t0

f (s, u(s)) − f (s, u(s)) ˜ ds

≤ | t − t ₀ |

| {z }

≤

1/(2L)

L max

|s−t0|≤

∆ | u(s ) − u(s ˜ ) |

| {z }

=M

Bilden des Maximums der linken Seite ¨ uber t ∈ I = [t ₀ − ∆, t ₀ + ∆]

= ⇒ M ≤ M / 2 und somit M = 0, d.h. u = ˜ u auf I

Iteration des Arguments mit t ₀ ← t ± ∆ = ⇒ Behauptung

(26)

Beispiel:

(i) Lokale Existenz:

u

⁰

= tu ² , u(0) = 1 bestimme eine Lipschitz-Konstante L f¨ ur f (t, u) = tu ²

f (t, u) − f (t, u) = ˜ t(u ² − u ˜ ² ) = [t(u + ˜ u)] (u − u) ˜

= ⇒ Abh¨ angigkeit von L von dem Betrag der L¨ osung δ = 2, D = [0, 4], d.h. (t, u), (t, u) ˜ ∈ [ − 2, 2] × [0, 4]

L = max[. . .] = 2 · (2 · 4) = 16 Die L¨ osung (bestimmt durch Separation der Variablen)

u(t) = 1 1 − t ² /2 ist eindeutig; wird jedoch f¨ ur t = √

2 singul¨ ar, d.h. sie existiert nur auf einem Teilintervall von [ − 2, 2].

(ii) Globale Existenz:

u

⁰

= sin(tu), u (0) = 1 Mittelwertsatz = ⇒

f (t, u) − f (t, u) = [cos(s) ˜ t] (u − u) ˜

= ⇒ L = max[. . .] = T ist Lipschitz-Konstante auf dem Bereich [ − T , T ] × R

| u

⁰

(t) | ≤ 1 = ⇒

| u(t) | ≤ 1 + | t |

Satz von Peano (Existenz bis zum Rand des Stetigkeitsbereichs) = ⇒ Existenz im gesamten Interval ( − T , T )

T beliebig Existenz einer eindeutigen L¨ osung auf R

Ableitung nach Anfangsbedingungen

Das Anfangswertproblem

u

⁰

= f (t, u), u(t ₀ ) = a ,

l¨ asst sich f¨ ur stetig differenzierbares f nach (a ₁ , . . . , a

_n

) ^t partiell ableiten.

Man erh¨ alt die Matrix-Differentialgleichung

u

_a⁰

= f

_u

(t, u)u

_a

, u

_a

(t ₀ ) = E ,

mit der Jacobi-Matrix u

_a

= ( ∂ u /∂ a ₁ , . . . , ∂ u /∂ a

_n

) und E der (n × n) Einheitsmatrix.

Durch Taylor-Entwicklung folgt f¨ ur die L¨ osung v zu einem benachbarten Anfangswert v (t ₀ ) = a + ∆a

v (t) = u(t) + u

_a

(t)∆a + O((∆a) ² ) .

Standardform Ableitung nach Anfangsbedingungen 55-1

Beispiel:

Differentialgleichungen f¨ ur die Bahnkurve eines antriebslosen Raumschiffs in Polarkoordinaten

r

⁰

= u u

⁰

= v ²

r − γ r ² v

⁰

= − uv

r γ: Gravitationskonstante

r: Abstand vom Erdmittelpunkt

u, v : radiale und tangentiale Geschwindigkeitskomponente station¨ arer Orbit:



 r

⁰

u

⁰

v

⁰



 =



 0 0 0



 = ⇒



 r u v



 =



 r ₀

0 p γ/r ₀





(27)

St¨ orung der Anfangswerte:

p ^t = (r ₀ , 0, p

γ/r 0 ) → p ˜ ^t N¨ aherung f¨ ur die resultierende Bahnkurve





˜ r(t)

˜ u(t)

˜ v (t)



 =



 r ₀ 0 p γ/r 0



 + J(t)





∆r (0)

∆u (0)

∆v (0)





| {z }

d(t)

Jacobi-Matrix J bestimmt durch die L¨ osung des Anfangswertproblems

J

⁰

=







0 1 0

γ

r ₀ ³ 0 2 p

γ/r ₀ r ₀

0 −

p γ/r 0

r ₀ 0







| {z }

A

J , J(0) = E ,

Berechnung von A durch Einsetzen der ungest¨ orten L¨ osung in die Ableitung der rechten Seite:

A =





0 1 0

−

^v_r²²

+ 2

_r^γ₃

0 ^2v

_r

uv

r²

−

^v_r

−

^u_r





(r,u,v)=(r

0,0,

√

γ/r0

)

(Bei einem station¨ aren Orbit h¨ angt A nicht von t ab.) Berechnung von d (t) durch L¨ osen eines linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten:

d

⁰

(t) = J

⁰

(t) d (0) = A J(t) d (0) = A d(t), d (0) =





∆r(0)

∆u(0)

∆v (0)





Lineares Differentialgleichungssystem

Ein lineares Differentialgleichungssystem u

⁰

= A(t)u + b(t)

mit stetiger Koeffizientenmatrix A und stetigem Vektor b besitzt eine eindeutige L¨ osung (u ₁ , . . . , u

_n

) ^t f¨ ur jeden Anfangswert u(t ₀ ).

Insbesondere besitzt das homogene System u

⁰

= A(t)u n linear unabh¨ angige L¨ osungen v , w , . . ., d ie man in einer Fundamentalmatrix

Γ = (v , w, . . .) zusammenfassen kann.

Lineare Differentialgleichungssysteme und

Stabilit¨at Lineares Differentialgleichungssystem 57-1

Die allgemeine L¨ osung des Differentialgleichungssystems hat die Form u = u

_p

+ u

_h

, u

_h

= Γc

wobei u

_p

eine partikul¨ are L¨ osung und u

_h

eine L¨ osung des homogenen Systems ist, und

c = Γ(t ₀ )

⁻

¹ (u(t ₀ ) − u

_p

(t ₀ ))

durch eine Anfangsbedingung in einem Punkt t ₀ festgelegt werden kann.

(28)

Beweis:

(i) Lokale Existenz und Eindeutigkeit:

Lipschitz-Konstante

L = max

t∈

[t

0,t1

] k A(t) k (t ₁ beliebig)

allgemeine Theorie eindeutige L¨ osung auf [t ₀ , t

_?

] (t

_?

> t ₀ maximal) (ii) Globale Existenz:

zeige t

_?

= t ₁ durch Schranke f¨ ur die L¨ osung (Ausschluss von Singularit¨ aten)

Multiplikation mit u

u ^t u

⁰

= u ^t A(t )u + u ^t b(t)

bzw. mit r = u ^t u = | u | ² und der Ungleichung ab ≤ ¹ ₂ (a ² + b ² ) 1

2 r

⁰

≤ k A(t) k r + 1

2 r + | b(t) | ²

Absch¨ atzung der rechten Seite mit C = max

t∈

[t

0,t1

]

( k A(t) k , | b(t) | ) r

⁰

≤ (2C + 1)r + C ²

r ≥ 0 = ⇒ r wird majorisiert durch die L¨ osung von R

⁰

= αR + β, α = 2C + 1, β = C ² , d.h.

r(t) ≤ R (t) = − α β +

r(t ₀ ) + α β

e

^α(t⁻^t⁰

⁾

(ii) Darstellung der L¨ osung:

Einheitsvektoren e ₁ , . . . , e

_n

Differentialgleichung erster Ordnung

Differentialgleichungen

Differentialgleichung erster Ordnung

Eine Differentialgleichung erster Ordnung f¨ ur eine Funktion y (x ) hat die Form

y

(x ) = f (x , y (x )) ,

wobei das Argument x oft weggelassen wird (y

= f (x , y )).

Die L¨ osung ist im Allgemeinen nur bis auf eine Konstante bestimmt, die durch eine Anfangsbedingung

y (x 0 ) = y 0 festgelegt werden kann.

Beispiel:

Differentialgleichung

y

= y

x (1 − y ) mit der allgemeinen L¨ osung

y = x

x + c , c ∈ R

y nur bis auf eine Integrationskonstante c bestimmt Konstante durch Anfangswert festgelegt

(vgl. Bilden von Stammfunktionen f (x , y (x )) = g (x )) Anfangswert y (1) = 2

c = − 1

2 , y (x ) = 2x 2x − 1 x 0 = 0 Singularit¨ at

einziger m¨ oglicher Anfangswert y 0 = 0, L¨ osungsschar nicht eingeschr¨ ankt

Beispiel:

Wachstumsmodell: proportionaler Zuwachs bzw. Abnahme u(t + ∆t) = u(t) + ∆t p u(t)

∆t → 0 Differentialgleichung u

(t) = pu(t) (u

proportional zu u)

L¨ osung

u(t) = u(0) exp(pt) exponentielles Wachstum

p > 0

p = 0 p < 0 c

u

t

Richtungsfeld

Das Richtungsfeld einer Differentialgleichung y

(x) = f (x , y (x ))

ordnet jedem Punkt der xy -Ebene eine Tangente mit Steigung f zu.

Die Graphen der L¨ osungen sind in jedem Punkt (x , y ) zum Richtungsfeld tangential.

Ist eine Anfangsbedingung

y (x 0 ) = y 0

gegeben, so verl¨ auft der Graph durch den Punkt (x 0 , y 0 ).

Beispiel:

Die Abbildung zeigt zwei Beispiele von Richtungsfeldern, in denen jeweils einige L¨ osungen eingezeichnet sind.

qualitatives Verhalten der L¨ osungen erkennbar

(i) Linke Differentialgleichung:

Rechte Seite h¨ angt nicht explizit von x ab.

L¨ osungen sind translationsinvariant, d.h. ist y (x ) L¨ osung, so auch y (x + c) mit c ∈ R .

Nullstellen des Sinus konstante L¨ osungen y (x ) = j π, j ∈ Z anziehend f¨ ur j = 2k + 1,

d.h. f¨ ur L¨ osungen y y (0) ∈ (2kπ, (2k + 2)π) gilt

lim

y (x ) − (2k + 1)π = 0 abstoßend f¨ ur j = 2k

(ii) Rechte Differentialgleichung:

Die Steigungen nehmen f¨ ur große Werte von x und y deutlich zu.

stark wachsende L¨ osungen

F¨ ur y (0) > 0 existiert jede L¨ osung nur auf einem endlichen Intervall.

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y

= py + q

mit der allgemeinen L¨ osung

y = y

+ y

.

Dabei ist y

eine partikul¨ are (oder spezielle) L¨ osung und y

die allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung (q(x ) = 0).

Bezeichnet

P(x) = Z

p(x ) dx eine Stammfunktion von p, so gilt

y

= c exp(P (x )) , mit einer beliebig w¨ ahlbaren Konstanten c ∈ R , und

y

=

Z

exp(P (x ) − P (s))q(s ) ds

ist eine partikul¨ are L¨ osung mit y

(x 0 ) = 0.

F¨ ur die allgemeine L¨ osung y = y

+ y

zu der Anfangsbedingung y (x 0 ) = y 0 ist

c = y 0 exp( − P (x 0 )) .

y (x ₀ ) = y ₀ festgelegt werden kann.

2 , y (x ) = 2x 2x − 1 x ₀ = 0 Singularit¨ at

einziger m¨ oglicher Anfangswert y ₀ = 0, L¨ osungsschar nicht eingeschr¨ ankt

y (x ₀ ) = y ₀

gegeben, so verl¨ auft der Graph durch den Punkt (x ₀ , y ₀ ).

(x ₀ ) = 0.

zu der Anfangsbedingung y (x ₀ ) = y ₀ ist

c = y ₀ exp( − P (x ₀ )) .

1 + x ²

y + x ³

P (x ) = ln(1 + x ² )

= c(1 + x ² )

e ^ln(1+x

⁾

^ln(1+s

⁾ s ³ ds

= (1 + x ² ) 1

2 x ² − 1

2 ln(1 + x ² )

= (1 + x ² ) x ²

2 − ln(1 + x ² )

y = u ¹