Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
F¨ur einen konstanten Koeffizientenp kann die Differentialgleichung y0=py+q
f¨ur bestimmte Funktionen q(x) durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten gel¨ost werden oder eine partikul¨are L¨osungyp ist unmittelbar ersichtlich.
Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 1-1
Einige gebr¨auchliche F¨alle sind q(x) =Pn
j=0cjxj →yp=Pn
j=0djxj f¨ur p6= 0 q(x) =cexp(λx), λ6=p → yp= c
λ−p exp(λx) q(x) =cexp(px) → yp=cxexp(px)
q(x) =acos(ωx) +bsin(ωx) → yp=ccos(ωx) +dsin(ωx) Die allgemeine L¨osung ist
y =yp+cexp(px).
Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 1-2
Beweis:
Polynom q:
Ableitung des Ansatzes und Indexverschiebung yp0 =
n
X
j=1
djjxj−1 =
n−1
X
j=0
(j + 1)dj+1xj Einsetzen in die Differentialgleichung
n−1
X
j=0
(j+ 1)dj+1xj =p
n
X
j=0
djxj
| {z }
yp
+
n
X
j=0
cjxj
Koeffizientenvergleich dn=−cn
p , dj = −cj
p +(j + 1)dj+1
p , j =n−1, . . . ,0 Exponentialfunktionen q:
direktes Nachrechnen
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Trigonometrischer Ausdruck:
Einsetzen in die Differentialgleichung
−cωsin(ωx) +dωcos(ωx) =
p(ccos(ωx) +dsin(ωx)) +acos(ωx) +bsin(ωx) Vergleich der Koeffizienten von cos(ωx) und sin(ωx)
lineares Gleichungssystem f¨urc und d: a=−pc+ωd, b=−ωc−pd (Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null)
Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 2-2
Beispiel:
Bei einer gleichf¨ormig beschleunigten Bewegung mit Reibung gilt f¨ur die Geschwindigkeit v(t)
mv0 =−αv−γm, v(0) =v0 . allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung
vh=cexp
−α mt mit c ∈R
partikul¨are L¨osung
vp=−γm α
Anfangsbedingung v(0) =v0 c =v0+γm/αund v(t) =vp(t) +vh(t) =−γm
α +
v0+ γm α
exp
−α mt
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