Prof. Dr. Wengenroth WS 2016/17
Thorben Schlierkamp 27.01.17
Lineare Algebra Ubung 12¨
Abgabe bis Mo,06.02.2017, 8:30 Uhr in ¨Ubungskasten E19 oder zu Beginn der ersten ¨Ubung. Besprechung in den ¨Ubungen:
Mo, 06.02.2017, 8:30-10:00 Uhr in HS 9 Mi, 08.02.2017, 17:50-19:20 Uhr in HS 9 A 48 (4 Punkte+ 3 Bonuspunkte)
Es seien X ein K-Vektorraum mit Skalarprodukth·,·i und L ein Teilraum von X.
Zeigen Sie f¨ur das orthogonale Komplement L⊥ ={x∈X :x⊥y f¨ur alle y∈L}:
(a) L⊥ ist ein Teilraum von X und L∩L⊥={0};
(b) L⊆L⊥⊥; (c) L⊥ =L⊥⊥⊥;
(d) falls L endlichdimensional ist, gilt L=L⊥⊥ und X =L⊕L⊥, d.h. jedes x∈X hat eine eindeutige Zerlegung x=a+b mit a∈L und b∈L⊥.
Hinweis: Nutzen Sie eine Orthogonalprojektion auf L.
A 49 (6 Punkte) (a) Es seiA=
"1 0 2 1 3 4
#
und L=Bild(A) ={Ax:x∈R2} ⊆R3.
Berechnen Sie eine Orthogonalprojektion auf L sowie eine auf L⊥.
Hinweis:Orthonormalisieren Sie die Spalten vonAund erg¨anzen Sie diese zu einer ONB von R3 mit a3 = [1,1,2]T.
(b) Es sei X = `2 = {x = (xn)n∈N ∈ KN : hx, xi < ∞} mit dem Skalarprodukt definiert durch hx, yi =
∞
P
n=1
xnyn. Berechnen Sie f¨ur L = span{ek ∈ `2 : k ∈ N} die orthogonalen Komplemente L⊥ und L⊥⊥, wobei (ek)n=δk,n=
(1, falls k=n 0, falls k6=n . A 50 (5 Punkte)
F¨ur v ∈Kn mit kvk= 1 sei Hv =E −2vv∗.
(a) Zeigen Sie, dass Hv eine orthogonale Matrix ist.
(b) Zeigen Sie, dass es f¨ur allea, b∈Kn\ {0} ein v ∈Kn mit kvk= 1 und ein λ∈Kgibt, so dass Hva=λb gilt.
(c) F¨ur welche v, w∈Kn mit Norm 1 gilt HvHw =HwHv? A 51 (5 Punkte + 2 Bonuspunkte)
(a) Zeigen Sie, dass f¨urA∈Rn×ndie AbbildungwA:Rn×Rn→R,wA(x, y) = xTAybilinear ist.
(b) Zeigen Sie, dass es f¨ur jede bilineare Abbildung ϕ:Rn×Rn →Reine eindeutige Matrix A∈Rn×n gibt, so dass ϕ=wA gilt.
(c) Berechnen Sie Alt(wA) und charakterisieren Sie f¨ur welche MatrizenA∈Rn×n die Abbil- dung wA alternierend ist.
Hinweis: Der Alternator Alt ist surjektiv.
(d) F¨ur a ∈ Rn sei fa : Rn → R, fa(x) = aTx. Bestimmen Sie f¨ur a, b ∈ Rn die zu fa⊗fb geh¨orige Matrix.
