Aufgabe 2 Seien(X,P) ein lokalkonvexer Raum, L⊆X ein Teilraum undX/L der Raum aller ¨Aquivalenzklassen [x] bez¨uglich der Relationx∼y, fallsx−y∈L

J. Wengenroth SS 2012

N. Kenessey, M. Riefer 25.04.2012

Funktionalanalysis Ubungsblatt 3¨

Abgabe: Mittwoch, 16.05.2012, 08.00 Uhr, ¨Ubungskasten 5

Aufgabe 1

Seien (X,k · k) ein normierter Raum und X⁰ sein Dualraum versehen mit der (gem¨aß Blatt 1, A3 vollst¨andigen) sogenannten Dualnorm

kϕk⁰= sup{|ϕ(x)|:x∈X,kxk ≤1}.

F¨ur einx∈X seiδ_x:X⁰→K, ϕ7→ϕ(x) die Auswertung inx. Zeigen Sie, dass δ:X →(X⁰,k · k⁰)⁰, x7→δx

eine lineare Isometrie ist, d.h kxk = kδxk⁰⁰. Dies zeigt, dass jeder normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Teilraum eines Banach-Raums ist.

Aufgabe 2

Seien(X,P) ein lokalkonvexer Raum, L⊆X ein Teilraum undX/L der Raum aller ¨Aquivalenzklassen [x] bez¨uglich der Relationx∼y, fallsx−y∈L. Verm¨oge α[x] +β[y] = [αx+βy] ist dies ein Vektorraum und die Quotientenabbildung π:X→X/L, x7→[x] ist linear.

(a) Zeigen Sie, dass f¨ur allep∈ Pdurch

p([x]) = inf{p(y) :˜ x∼y}

eine Halbnorm aufX/Ldefiniert ist. (Der lokalkonvexe Raum (X/L,P/L) mitP/L={p˜:p∈ P} heißt dann lokalkonvexer Quotient vonX nach L.) (b) Zeigen Sie, dassLgenau dann abgeschlossen ist, wenn (X/L,P/L) separiert ist, d.h. das Nullelement [0] ist das einzige, dass von allen Halbnormen aus P/Lannuliert wird.

Aufgabe 3

Seien Ω ein metrischer Raum,A⊆Ω abgeschlossen undCB(Ω) bzw.CB(A) die R¨aume der stetigen beschr¨ankten Funktionen auf Ω bzw.Amit Werten inR. Wir versehen diese R¨aume mit der Supremumsnormk · kΩbzw.k · kA. Zeigen Sie f¨ur L={f ∈CB(Ω) :f|A= 0}, dass durch Φ :CB(Ω)/L→CB(A),[g]7→g|Aeine Isometrie wohldefiniert ist, wobei der Quotientenraum mit der Quotientennorm aus A2 versehen ist.

Hinweis: Satz von Tietze-Urysohn.

Aufgabe 4

Es seiH(C) der Raum der ganzen (also aufCholomorphen) Funktionen verse- hen mit den Halbnormen pn(f) = sup{|f(z)|:|z| ≤n}. F¨ur P ={pn :n∈N} ist der Raum (H(C),P) lokalkonvex und wir definieren f¨ur λ∈Cdie Funktion

eλ:C→C, z7→exp(λz).

Zeigen Sie f¨ur jede Menge Λ∈ Cmit inneren Punkten, dass die lineare H¨ulle {eλ:λ∈Λ} dicht inH(C) ist.

Hinweis:F¨urϕ∈H(C)⁰, das die lineare H¨ulle annulliert, definiere mang(λ) = ϕ(eλ) und rechne nach, dassg∈H(C) gilt (so, dass der Eindeutigkeitssatzg= 0 liefern kann) mitg⁽ⁿ⁾(λ) =ϕ(z7→zⁿe^λz). Man berechneϕ(z7→zⁿ).

Aufgabe 5[Bonusaufgabe]

(a) Auf jeder Menge gibt es eine Wohlordnung.

(b) SindX, Y wohlgeordnet, so giltX4Y oderY 4X, wobeiX4Y bedeutet, dass es einen Anfang B von Y und eine bijektive Abbildung f : X → B gibt mitf(x)< f(y)⇔x < y.

(c) FallsX 4Y, so ist die Abbildungf aus (b) eindeutig.

Hinweis: F¨ur (a) wende man das Zornsche Lemma auf M ={(A,≤A) : A⊆ X,≤A Wohlordnung} versehen mit der Halbordnung (A,≤A)4(B,≤B), falls Aein Anfang vonB ist und f¨ur allex, y∈Agiltx≤A⇔x≤B y.