Zeigen Sie: (a) Sind X und Y kompakte R¨aume, so l¨asst sich jede stetige Funktion auf X×Y gleichm¨aßig durch eine Linearkombination von Funktionen der Form f ⊗g: (x, y)7→f(x)g(y) mitf ∈C(X), g∈C(Y) approximieren

PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de

Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 6¨

Abgabe bis Fr, 27.05., 8:15 Uhr

Aufgabe 1. Sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und f ∈ C(X). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

(a) F¨ur jedes >0 ist die Menge{x∈X :|f(x)| ≥} kompakt;

(b) Die Funktion ˜f:X⁺→C, definiert durch ˜f|_X =f und ˜f(∞) = 0, ist stetig.

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) Sind X und Y kompakte R¨aume, so l¨asst sich jede stetige Funktion auf X×Y gleichm¨aßig durch eine Linearkombination von Funktionen der Form

f ⊗g: (x, y)7→f(x)g(y) mitf ∈C(X), g∈C(Y) approximieren.

(b) Jede stetige, reell-wertige, 2π-periodische Funktion auf R l¨asst sich gleichm¨aßig durch eine Funktion der Form

t7→

m

X

k=−m

α_kcoskt+

m

X

l=−m

β_lsinlt mitm∈Nund α_k, β_l ∈R

approximieren. (Hinweis: Betrachten Sie Funktionen auf T:={z∈C:|z|= 1}.) Aufgabe 3. Sei X ein kompakter Raum. Beweisen Sie mit Hilfe des Urysohnschen

Lemmas und des Satzes von Stone-Weierstrass die ¨Aquivalenz folgender Aussagen:

(a) X ist hom¨oomorph zu einer kompakten Teilmenge von Rⁿ;

(b) es gibt Funktionenf₁, . . . , f_n∈C(X), sodass alle Linearkombinationen von Funk- tionen der Formx7→f1(x)^k1· · ·fn(x)^kn mitk1, . . . , kn∈N0 dicht inC(X) sind.

Aufgabe 4. SeiX ein kompakter Raum und jeder Punktx∈Xhabe eine Umgebung, die homeomorph zu einer Teilmenge vonRⁿ ist. Zeigen Sie:

(a) Ist U ⊆X offen, φ:U → Rⁿ stetig und f:X → [0,1] stetig mit suppf ⊆U, so ist die Abbildung

φ˜:X→Rⁿ⁺¹, x7→

(0, f(x) = 0,

f(x)·(φ1(x), . . . , φn(x),1)^>, f(x)6= 0, stetig. Hierbei bezeichnenφ1, . . . , φn die Komponenten von φ.

(b) Es gibt eine injektive, stetige Abbildung Φ :X →R^k(n+1) f¨ur eink∈N.

(Hinweis: Nutzen Sie (a), die Kompaktheit von X und eine Zerlegung der Eins.) (c) X ist homeomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge von R^m f¨ur ein m∈N. Zusatzaufgabe 5. (Fortsetzungssatz von Tietze) SeiXnormal undY ⊆Xabgeschlossen.

Zeigen Sie mit Hilfe des Urysohnschen Lemmas:

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(a) Istf1:Y →[−1,1] stetig, so existiert einF1:X →[−¹/3,¹/3] mit F1|_f⁻¹_([−1,−1/3])≡ −¹/3 und F1|_f⁻¹_([1/3,1])≡¹/3, und f₂ :=f₁−F₁|_Y erf¨ullt dann −²/3≤f₂(y)≤²/3 f¨ur alle y∈Y.

(b) F¨ur jedesn∈Ngibt es stetige FunktionenFn:X →[−2ⁿ⁻¹/3ⁿ,2ⁿ⁻¹/3ⁿ] so, dass

−2ⁿ/3ⁿ≤f₁(y)−F₁(y)− · · · −F_n(y)≤2ⁿ/3ⁿ f¨ur alle y∈Y.

(c) Die Funktion F:X → R, definiert durch x 7→ P

nF_n(x), ist stetig und setzt f fort, d.h. F|_Y =f.

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