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Academic year: 2021

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Spezielle Themen der Algebra/Geometrie: Homotopietyptheorie – Blatt 7

Vorrechnen in der Übung am 29.11.2019

Aufgabe 1:

Im folgenden seien X, Y, Z lokal-kompakte topologische Räume. In der Vorlesung haben wir die Menge der stetigen Funktionen C(X, Y ) so zu einem topologischen Raum gemacht, dass gilt:

(i) C(X, Y ) ist auch wieder lokal kompakt. (Das wurde noch gar nicht in der Vorlesung gesagt, darf aber hier verwendet werden).

(ii) Die natürliche Bijektion C(X × Y, Z ) → C(X, C(Y, Z )) ist ein Homöomorphismus.

Zeigen Sie, unter Verwendung von (i) und (ii), aber ohne die konkrete Definition der Topologie auf C(X, Y ) zu verwen- den, dass die folgenden Abbildungen stetig sind:

(a) die „Auswertungsabbildung“ (C(X, Y ) × X) → Y, (f, x) 7→ f (x)

(b) die „partielle Auswertungsabbildung“ (C(X × X

0

, Y ) × X) → (X

0

→ Y ), (f, x) 7→ λx

0

.f (x, x

0

) (c) die Verknüpfung (C(X, Y ) × C(Y, Z)) → C(X, Z), (f, g) 7→ g ◦ f .

Aufgabe 2:

Sind A und B topologische Räume, so definieren wir A + B als das Koprodukt von A und B. Zeigen Sie, dass mit dieser Interpretation die entsprechenden Typtheorie-Regeln (+ intro ), (+ elim ), (+ comp ) gelten.

Vorlesungswebseite: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Hott_W19/

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