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(a) Seien X, Y topologische Räume und B(X), B(Y ) die zugehörigen Borel’schen σ-Algebren. Zeigen Sie, dass B(X) ⊗ B(Y ) ⊂ B(X ⊗ Y ).

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Academic year: 2021

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(1)

Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi

Giovanni Placini 17.11.2014

Maß- und Integralrechnung Tutoriumsblatt 6

Aufgabe 1:

(a) Seien X, Y topologische Räume und B(X), B(Y ) die zugehörigen Borel’schen σ-Algebren. Zeigen Sie, dass B(X) ⊗ B(Y ) ⊂ B(X ⊗ Y ).

Sie dürfen benutzen, dass B(X ) ⊗ B(Y ) die kleinste σ-Algebra ist, so dass die Projektionen Π

X

: X × Y → X, (x, y) 7→ x und Π

Y

: X × Y → X, (x, y) 7→ y messbar sind.

(b) Zeigen Sie, dass L

1

⊗ L

1

$ L

2

, wobei L

d

die Lebesgue messbaren Mengen des R

d

sind.

Tipp: Betrachten Sie die Schnitte einer geeigneten λ

2

-Nullmenge.

Aufgabe 2:

Betrachten Sie die folgenden Beispiele von Funktionenfolgen (f

k

)

k∈N

auf den Grund- mengen B und prüfen Sie jeweils, welche Voraussetzungen

• des Satzes von Beppo Levi (monotone Konvergenz),

• des Lemmas von Fatou,

• des Satzes von Lebesgue (majorisierte Konvergenz) erfüllt sind:

(a) Sei B := [0, 1], sei (r

j

)

j∈N

eine Abzählung von B ∩ Q und sei f

k

: B → R definiert durch f

k

(x) :=

( 1 für x ∈ {r

1

, . . . , r

k

}, 0 sonst.

(b) Sei B := R und sei f

k

: B → R definiert durch f

k

(x) :=

(

1

k

für x ∈ [−k, k], 0 sonst.

(c) Sei B := [0, 1] und sei f

k

: B → R definiert durch f

k

(x) :=

( k für x ∈ [0,

1k

],

0 sonst.

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