Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
Pr¨asenzaufgaben zur Analysis II Blatt III vom 29. April 2010
Aufgabe III.1
Seien (X, d) ein metrischer Raum und (xn) eine konvergente Folge inX. Zeigen Sie, dass der Grenzwert eindeutig ist.
Aufgabe III.2
Seien (X, d) ein metrischer Raum undM ⊂X. Bestimmen Sie in den folgenden F¨allen jeweils M, ˚M und∂M.
a)X=R, d(x, y) =|x−y|; i) M = (0,∞) ii)M = (−∞,0]
b) X=R2, d(x, y) =kx−yk2; i) M = (0,2)×(1,3) ii)M =R× {0}
c)X=R3, d(x, y) =kx−yk2; M = (1,2]3
Aufgabe III.3 a) Seip >1 und 1p +1q = 1. Beweisen Sie1: Sind die Reihen
∞
P
k=1
|ak|p und
∞
P
k=1
|bk|q konvergent, so konvergiert auch
∞
P
k=1
|akbk|und es gilt
∞
X
k=1
|akbk| ≤
∞
X
k=1
|ak|p
!1/p ∞
X
k=1
|bk|q
!1/q
.
b) Seien a, b≥0. Zeigen Sie, dass
ab≤ 1
4a2+b2. Aufgabe III.4
Seir >0.
a) SeiRversehen mit der ¨ublichen Metrik, alsod(x, y) =|x−y|. Bestimmen Sie {y |d(0, y)< r}.
b) Sei R versehen mit der Metrik d(x, y) = min (|x−y|,2). Weisen Sie nach, dass dies tats¨achlich eine Metrik ist. Bestimmen Sie
{y |d(0, y)< r}.
Hinweis: Eine Fallunterscheidung f¨ur verschiedene Bereiche von r ist sinnvoll.
1Den Raum aller Folgen (an), f¨ur die
∞
P
k=1
|ak|p<∞gilt, bezeichnet man mit`p. Man kann zeigen, dass
`pmit der Normk(an)kp=
„∞ P
k=1
|ak|p
«1/p
ein Banachraum ist, vgl. auch ¨Ubungsaufgabe II.3.
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