Aufgabe 3 Die geometrische Reihe P∞
n=0qn ist absolut konvergent, also gilt
1 1−q
2
= ∞
X
n=0
qn 2
=
∞
X
n=0
n X
k=0
qkqn−k
=
∞
X
n=0
qn
n
X
k=0
1
=
∞
X
n=0
(n+ 1)qn,
und diese Reihe (Cauchyprodukt) ist ebenfalls absolut konvergent. Folglich ergibt sich, indem man das Cauchyprodukt dieser Reihe mitP∞
n=0qn bildet,
1 1−q
2
· 1 1−q =
∞ X
n=0
(n+ 1)qn ∞
X
n=0
qn
=
∞
X
n=0
n X
k=0
(k+ 1)qkqn−k
=
∞
X
n=0
qn
n
X
k=0
(k+ 1)
=
∞
X
n=0 1
2(n+ 1)(n+ 2)qn.
F¨ur die gegebene Reihe erhalten wir daher
∞
X
n=0
(n+ 1)(n+ 2)qn= 2 1
1−q 2
· 1
1−q = 2 (1−q)3.
Aufgabe 4 a)Offenbar ist a1 = 2 >0. F¨ur n >1 ist n >√
n und damit an= 1
√n +(−1)n+1
n ≥ 1
√n − 1 n > 1
n − 1 n = 0.
Die Konvergenz gegen 0 ist klar wegen 1/√
n −−−→n→∞ 0 und 1/n−−−→n→∞ 0.
b) F¨ur jedesN ∈N gilt sN :=
N
X
n=1
(−1)nan=
N
X
n=1
(−1)n
√n +−1 n
=
N
X
n=1
(−1)n
√n −
N
X
n=1
1 n.
Die erste Summe ist dieN-te Partialsumme einer Reihe, die nach dem Leibnizkriterium konvergiert; insbesondere ist die Folge ihrer Partialsummen nach oben beschr¨ankt, d. h.
es gibt eine Konstante C mit
sN ≤C−
N
X
n=1
1 n.
Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe folgt hieraus sN −−−→ −∞N→∞ , d. h. die gegebene Reihe ist tats¨achlich divergent.
c)Das Leibnizkriterium ist nicht anwendbar, weil die Folge (an) nicht monoton ist.
d) Zun¨achst zum Quotientenkriterium: F¨ur ungeradesn gilt
bn+1
bn = (1 + 12)n+1
(n+ 1)2 · n2
(1−12)n = n2
(n+ 1)2 · (32)n+1
(12)n = 1
(1 + 1n)2 · 3n+1 2
−−−→ ∞n→∞ .
1
F¨ur geradesn dagegen ergibt sich
bn+1
bn = (1− 12)n+1
(n+ 1)2 · n2
(1 + 12)n = n2
(n+ 1)2 · (12)n+1
(32)n = 1
(1 + 1n)2 · 1 2·3n
−−−→n→∞ 0.
Es gilt also lim sup(bn+1/bn) = ∞ > 1 und lim inf(bn+1/bn) = 0 <1. Das Quotienten- kriterium liefert somit keine Entscheidung.
Das Wurzelkriterium kann dennoch eine Entscheidung bringen, und so ist es in diesem Falle tats¨achlich. F¨ur gerades n gilt n¨amlich
pn
|bn|= 1 + 12
√n
n2
−−−→n→∞ 3 2,
d. h. es gilt lim suppn
|bn| ≥ 32 >1, und dies impliziert die Divergenz der Reihe.
Aufgabe 5 Die Konvergenz der Folge beweisen wir mit Hilfe des Cauchykriteriums.
F¨ur jedesn ∈Ngilt nach Voraussetzung
|xn+1−xn| ≤q· |xn−xn−1| ≤ · · · ≤qn· |x1−x0|. F¨ur m≥n gilt daher die Absch¨atzung
|xm−xn|=|xm−xm−1+xm−1−+· · ·+xn+1−xn|
≤ |xm−xm−1|+· · ·+|xn+1−xn| ≤qm−1· |x1−x0|+· · ·+qn· |x1−x0|
=qn(qm−n−1+· · ·+ 1)· |x1−x0| ≤qn· |x1−x0|
∞
X
k=0
qk = qn
1−q · |x1−x0|. Im Falle x0 = x1 ist die Folge konstant und konvergiert daher trivialerweise. Sonst k¨onnen wir wegenqn−−−→n→∞ 0 zu jedem vorgegebenen >0 ein N finden, so dass
qn≤ (1−q)
|x1−x0| f¨ur n≥N .
Das bedeutet aber: F¨ur m≥n≥N ist|xm−xn| ≤. Die Folge (xn) ist also nach dem Cauchykriterium konvergent.
Machen wir in der obigen Absch¨atzung f¨ur |xm −xn| den Grenz¨ubergang m → ∞, so folgt die behauptete Absch¨atzung f¨ur |x−xn|.
2
