X n=1 an absolut konvergent

Wiederholung: Konvergenz von Reihen

Definition: Sei (a_n)n∈N eine Folge. Zu N ∈Nsetzes_N :=PN

n=1a_n=a₁+a₂+. . .+a_N. Die Folge (sN)_N∈Nheißt (unendliche)Reiheund wird mitP∞

n=1anbezeichnet. Die ReiheP∞ n=1an

heißt konvergent, falls die Folge (s_N)_N∈N konvergiert. Ist P∞

n=1an konvergent, so heißt lim

N→∞s_N derReihenwert von P∞

n=1an und wird bezeichnet mitP∞

n=1an:= lim

N→∞

PN

n=1an= lim

N→∞sN. Satz: IstP∞

n=1an konvergent, so gilt lim

n→∞an= 0.

D.h.: Ist (a_n)n∈Nkeine Nullfolge, so divergiert P∞ n=1a_n. Definition: Die Reihe P∞

n=1an heißt absolut konvergent, fallsP∞

n=1|a_n|konvergiert.

Satz:

∞

X

n=1

a_n absolut konvergent =⇒

∞

X

n=1

a_nkonvergent und es gilt

∞

X

n=1

a_n

≤

∞

X

n=1

|a_n|.

Untersuchung von Reihen auf Konvergenz:

• Berechne die Folge der Partialsummen (s_N) und pr¨ufe, ob (s_N) konvergiert.

• Benutze Konvergenzkriterien f¨ur Reihen:

Leibnizkriterium f¨ur alternierende Reihen

Sei (b_n) eine monoton fallendeFolge mitb_n→0 (n→ ∞). Dann konvergiert P∞

n=1(−1)ⁿb_n. Majoranten- und Minorantenkriterium

Seien (a_n) und (b_n) Folgen.

(1) Gilt |a_n| ≤ bn f¨ur fast alle n ∈ N und ist P∞

n=1bn konvergent, so ist P∞

n=1an absolut konvergent.

(2) Gilt a_n ≥ b_n ≥ 0 f¨ur fast alle n ∈ N und ist P∞

n=1b_n divergent, so ist auch P∞ n=1a_n divergent.

Quotientenkriterium

Sei (a_n) eine Folge mita_n6= 0 f¨ur fast allen∈Nund c_n:=|^an+1_a

n |f¨ur nmita_n6= 0.

(1) Istϑ∈(0,1) und giltcn≤ϑf¨ur fast allen∈N, so ist P∞

n=1an absolut konvergent.

(2) Istc_n≥1 f¨ur fast alle n∈N, so ist P∞

n=1a_n divergent.

Wurzelkriterium Sei (an) eine Folge.

(1) Istϑ∈(0,1) und gilt pⁿ

|a_n| ≤ϑf¨ur fast alle n∈N, so ist P∞

n=1a_n absolut konvergent.

(2) Ist pⁿ

|a_n| ≥1 f¨ur unendlich vielen∈N, so divergiert P∞ n=1an.

Spezialfall, der bei der Untersuchung auf Konvergenz bzw. Divergenz meist ausreicht:

F¨ur die ReiheP∞

n=1an existiere lim

n→∞|^an+1_a

n |=:ϑoder lim

n→∞

pn

|a_n|=:ϑ. Dann gilt:

Im Fallϑ <1 ist die Reihe P∞

n=1a_n absolut konvergent.

Im Fallϑ= 1 ist keine Aussage m¨oglich.

Im Fallϑ >1 ist die Reihe P∞

n=1a_n divergent.