Geometrische Reihe
Werden bei der geometrischen Reihe die einzelnen Summanden kleiner, so ergibt die unendliche Reihe einen endlichen Wert.
Verallgemeinerung
Werden die einzelnen Summanden (irgendwie) kleiner, so ergibt eine unendliche Reihe einen endlichen Wert.
Diese Aussage ist falsch!
S = 1 + q + q
2+ q
3+ ... + q
n+ ...
Gegenbeispiel: Die harmonische Reihe
Harmonische Reihe
a
n1 2
n ...
1 + 1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6 + ...
...
1 1
3 4 5 6
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
Die harmonische Reihe hat keinen Grenzwert,
sondern wächst über alle Grenzen.
Harmonische Reihe
Die Harmonische Reihe wächst sehr langsam.
!
Sie ist ein Gegenbeispiel für die Konvergenzvermutung,
wenn Stellen bei numerischen
Näherungen fest bleiben.
Harmonische Reihe
+1 2
+1 3
+ 1 4
Harmonische Reihe
S = 1 1+ 1
2 + 1 3+ 1
4 + 1 5 + 1
6 + 1 7 + 1
8 + 1
9 + 1
10 + 1
11+ 1
12 + 1
13+ 1
14 + 1
15+ 1
16 + 1
17 +...
Der klassische Beweis:
Die harmonische Reihe hat keinen Grenzwert, sondern wächst für n→∞ über alle Grenzen.
In der letzten Zeile kann man erkennen, dass man unendlich oft 1/2 bekommt, so dass diese Summe unendlich groß wird.
S > 1 1+ 1
2 + 1 4 + 1
4 + 1 8 + 1
8 + 1 8 + 1
8 + 1
16 + 1
16 + 1
16 + 1
16 + 1
16 + 1
16 + 1
16 + 1
16 + 1
32 +...
S > 1 1+ 1
2 + 2
4 + 4
8 + 8
16 + 16
32 +...
S > 1 1+ 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 +...
![0 K ( t,q ,q ) ∝ e . ′ im ( q − q ) / 2¯ ht 0 t 2 t cl cl 0 cl q ( s )=1 { sq +( t − s ) q } = ⇒ S [ q ]= dsL [ q ( s )]= ( q − q ) . ′ ′ 2 m t Z 0 q t q ′ mp 2˙ 0 0 H =12 L = q 2 2 m h ¯ cl q q q t ′ K ( t,q ,p ) ∝ e , ′ iS [ q ] / ¯ h K ( t,q ,q )= h q](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)