0 K ( t,q ,q ) ∝ e . ′ im ( q − q ) / 2¯ ht 0 t 2 t cl cl 0 cl q ( s )=1 { sq +( t − s ) q } = ⇒ S [ q ]= dsL [ q ( s )]= ( q − q ) . ′ ′ 2 m t Z 0 q t q ′ mp 2˙ 0 0 H =12 L = q 2 2 m h ¯ cl q q q t ′ K ( t,q ,p ) ∝ e , ′ iS [ q ] / ¯ h K ( t,q ,q )= h q

Pfadintegrale

Aus Ihren bisherigen Vorlesungen kennen Sie die Formulierungen der Quantenmehanik

vonHeisenberg, Shrödinger und Kollegen. Bereits 1933 spekulierte Dira,ob die

klassishe Wirkung in der Quantenmehanik eine ähnlih wihtige Rolle spielen könnte

wieinder klassishenMehanik [7℄.Erglaubte,daÿdieWahrsheinlihkeitsamplitudefür

diePropagation von

q

^nah

q

^{′ in der Zeit}

t

^,

K(t, q

^′

, q) = h q

^′

| e

^−iHt/¯h

| q i

^(2.1)

gegeben istdurh

K(t, q

^′

, p) ∝ e

^iS[qcl]/¯h

,

^(2.2)

wobei

q

cl ^{dieklassishe Bahn von}

q

^nah

q

^{′ inder Zeit}

t

^{bezeihnet.Der Exponent istdi-}

mensionslos,da

¯ h

^{dieDimensioneinerWirkunghat.FüreinfreiesTeilhenmitHamilton-}

und Lagrangefunktion

H

0

= 1

2m p

^{2 und}

L

0

= m

2 q ˙

^{2 (2.3)}

kann man dieobigeFormelleiht nahprüfen: Freie Teilhen bewegen sihlängs Geraden

und der zur Zeit

0

^bei

q

^{beginnende und zur Zeit}

t

^bei

q

^{′ endende Weg ist}

q

cl

(s) = 1

t { sq

^′

+ (t − s)q } = ⇒ S[q

cl

] = Z

t

0

dsL

0

[q

cl

(s)] = m

2t (q

^′

− q)

²

.

Dies führtauf dieAmplitude

K

0

(t, q

^′

, q) ∝ e

^{im(q′−q)2/2¯ht}

.

Der Proportionalitätsfaktor ist bestimmt durh die Bedingung

e

^{−iHt/¯h t}

−→

^{→0 1}

,

^{welhe in}

der Ortsdarstellung die Form

lim

t→0

K(t, q

^′

, q) = δ(q

^′

, q)

^(2.4)

annimmt.EristauhbestimmtdurhdieEigenshaft

e

^−iHt/¯h

e

^−iHs/¯h

= e

^{−iH(t+s)/¯h mitder}

entsprehenden Form in der Ortsdarstellung,

Z

duK(t, q

^′

, u)K(s, u, q) = K(t + s, q

^′

, q).

^(2.5)

Auf diese Weise ndet man den korrektenPropagator für einfreies Teilhen,

K

0

(t, q

^′

, q) = m 2πi¯ ht

1/2

e

^iS[qcl]/¯h

.

^(2.6)

Ähnlihe Resultate erhält man für Systeme in denen

h q ˆ i

^{die klassishe} Bewegungsglei- hung erfüllt, d.h. Systeme für die gilt

h V

^′

(ˆ q) i = V

^′

( h q ˆ i ).

^Für nihtlineare Systeme muÿ die Formel (2.6) modiziertwerden. 1948 gelang esFeynman shlieÿlih,das Dirashe

ResultataufallgemeinereSystemezu erweitern[8℄.ErfandeinealternativeFormulierung

der Quantenmehanik, aufbauend auf der Tatsahe, daÿ der Propagator als Summe der

Amplituden aller Wege (undniht nurder klassishen) von

q

^nah

q

^{′ geshrieben werden}

kann.InderQuantenmehanikkanneinTeilhenaufbeliebigenWegen

q(s)

^vomAnfangs-

zum Endpunkt gelangen,

q(0) = q

^und

q(t) = q

^′

.

^(2.7)

DieAmplitudefüreineneinzelnen Wegist

∼ exp iS[

^Weg

]/¯ h

unddieAmplitudefüralle

Wege istnah den Regeln der Quantenmehanik dieSumme der einzelnen Amplituden,

K(t, q

^′

, q) ∼ X

alle Wege

e

^iS[Weg]/¯h

.

^(2.8)

Bei der Untersuhung vonstohastishen Prozessen beshäftigte sih Wienershon frü-

her mitder SummeüberalleWege [13℄. Dabeiwurdedem einzelnen Wegaber einereelle

und positive Wahrsheinlihkeit und niht eine komplexe Amplituden zugeordnet. Das

Wienershe Wegintegral entspriht dem Feynman Wegintegral fürimaginäreZeitenund

ndetseine Anwendungen inder statistishen Physik. Die Wegintegralmethode gestattet

eine einheitlihe Sihtweise auf Quantenmehanik, Quantenfeldtheorie und statistishe

Mehanik und isteinunersetzlihes Werkzeugin der modernen theoretishen Physik. Sie

istein alternativerZugang zur kanonisher Quantisierungklassisher Systeme.

Sie feierte erste groÿe Erfolge inden 1950er Jahren und ist sehr shön und verständ-

lih in Feynman's ursprünglihen Arbeit [8℄ und in seinem Buh mit Hibbs [14℄ darge-

legt. Dieses Buh enthält auh viele Anwendungen und gilt heute immer noh als eine

Standardreferenz. Funktionalintegrale wurden von herausragenden Mathematikern und

Physikern, undinsbesonderevonKa,weiterentwikelt[15℄.Einegute Referenzfürdiese

Entwiklung istder Übersihtsartikel vonGelfand und Yaglom [16℄.

IhkannindieserVorlesungnureine EinführunginWegintegralegeben.Füreintiefe-

resVerständnismüssensiedieLiteraturkonsultieren.EsgibtvieleguteBüherundÜber-

sihtsartikelüberWegintegrale.Einigesind inder Literaturlisteangegeben. Insbesondere

dieZitate [17℄-[21℄enthalten einführendes Material.

EtwaallezweiJahrewirdanunserer FakultäteineVorlesungüberPfadintegraleange-

boten.Zur VorlesungimWintersemester2001/2002existierteinSkript, welhesSieunter

http://www.tpi.uni-jena.de /wipf/hpwipf.html, über denLink leture notes in

ps.gz format abrufenkönnen.DasvorliegendeKapitelisteineverkürzteund übersetzte

Versionvon Teilen des Skriptes.

2.1 Wiederholung der Quantenmehanik

Bekanntlih gibt es zwei Zugänge zur Quantisierung eines klassishen Systems - kano-

nishe Quantisierung und Pfadintegral Quantisierung. Ih gehe davon aus, daÿ sie mit

der ersten, also Shrödingers Wellenmehanik und Heisenbergs Matrizenmehanik, ver-

traut sind. Trotzdem wiederhole ih nohmals die wesentlihen Shritte der kanonishen

Quantisierung.

Ein klassishes System wird beshrieben durh seine Koordinaten

{ q

ⁱ

}

^{und Impulse}

{ p

i

}

^imPhasenraum

Γ

^. Observablensind Funktionen

O : Γ →

^R

.

^{Die Energie}

H(q, p)

^ist

einwihtigesBeispiel. Esexistiert einesymplektisheStruktur auf

Γ

^{,d.h. lokalexistieren}

Koordinatenmit Poisson-Klammern

{ q

ⁱ

, p

j

} = δ

ⁱ_j

,

^(2.9)

unddieseStrukturwirdmitHilfederDerivationsregel

{ OP, Q } = O { P, Q } + { O, Q } P

^und

der Antisymmetrie auf Observablen ausgedehnt. Die Zeitentwiklung einer Observablen

istgegeben durh

O ˙ = { O, H } ,

^e.g.

q ˙

ⁱ

= { q

ⁱ

, H }

^und

p ˙

i

= { p

i

, H } .

^(2.10)

Nunquantisieren wir das System, indemwir Observablendurhhermiteshen Operato-

ren auf einem Hilbertraumund Poisson-Klammerndurh Kommutatoren ersetzen:

O(q, p) → O(ˆ ˆ q, p) ˆ

^und

{ O, P } −→ 1

i¯ h [ ˆ O, P ˆ ].

^(2.11)

DieZeitentwiklung einernihtexplizitzeitabhängigenObservablenistimHeisenbergbild

durh die Heisenberggleihung

d O ˆ dt = i

¯

h [ ˆ H, O] ˆ

^(2.12)

bestimmt. Speziell die Phasenraumkoordinaten

(q

ⁱ

, p

_i

)

^{werden zu Operatoren mit einer}

Zeitentwiklung gemäÿ

dˆ q

ⁱ

dt = i

¯

h [ ˆ H, q ˆ

ⁱ

]

^und

dˆ p

_i

dt = i

¯

h [ ˆ H, p ˆ

_i

]

^mit

[ˆ q

_i

, p ˆ

_j

] = i¯ hδ

ⁱ_j

.

Für niht-relativistishe Teilhen mit Hamiltonoperator

H ˆ = ˆ H

0

+ ˆ V ,

^mit

H ˆ

0

= 1 2m

X p ˆ

²_i ^(2.13)

ndet man diebekannten Bewegungsgleihungen

dˆ q

ⁱ

dt = p ˆ

i

2m

^und

d p ˆ

i

dt = − V, ˆ

i

.

^(2.14)

Die Observablen werden aufeinem Hilbertraum

H

^{,dessen Elemente die}Systemzustände harakterisieren, dargestellt,

O(ˆ ˆ q, p) : ˆ H −→ H .

^(2.15)

FüreinineinerDimension gefangeneTeilhenistder Hilbertraum

H = L

2

(

^R

)

^{und inder}

Ortsdarstellung haben Ort- und Impulsoperatordie Darstellung

(ˆ qψ)(q) = qψ(q)

^und

(ˆ pψ)(q) = ¯ h

i ∂

q

ψ(q).

^(2.16)

In Experimenten werden Matrixelemente von Observablen gemessen, zum Beispiel der

Erwartungswert des der Observablen zugeordneten Operators

O ˆ

^{in einem gegebenen Zu-}

stand

| ψ i

^{. Die} Zeitabhängigkeit des Erwartungswertes

h ψ | O(t) ˆ | ψ i

^{folgt dann aus den}

Heisenberg-Gleihungen (2.12).Im Folgenden kennzeihnen wir Operatoren nur nohbei

Bedarf miteinem Hut.

Wehseltmanmiteiner(zeitabhängigen)ÄhnlihkeitstransformationvomHeisenberg-

insShrödingerbild,

O

s

= e

^−itH/¯h

O e

^{itH/¯h und}

| ψ

s

i = e

^−itH/¯h

| ψ i ,

^(2.17)

dann werden Observablen zeitunabhängig,

d

dt O

s

= e

^−itH/¯h

− i

¯

h [H, O] + d dt O

e

^itH/¯h

= 0.

DerHamilton-Operatorändertallerdingsniht,

H

s

= H

^.NahKonstruktionbleibenauh Erwartungswerte invariant,

h ψ | O(t) | ψ i = h ψ

s

(t) | O

s

| ψ

s

(t) i .

^(2.18)

NahderTransformation

{ O(t), | ψ i} −→ { O

s

, | ψ

s

(t) i}

^insShrödingerbildentwikelnsih dieZustände gemäÿ der Shrödingergleihung

i¯ h d

dt | ψ

s

i = H | ψ

s

i ⇐⇒ | ψ

s

(t) i = e

^−itH/¯h

| ψ

s

(0) i .

^(2.19)

In der Ortsdarstellung hat diese formale Lösung dieForm

ψ

s

(t, q

^′

) ≡ h q

^′

| ψ

s

(t) i = Z

h q

^′

| e

^−itH/¯h

| q ih q | ψ

s

(0) i dq

≡ Z

K(t, q

^′

, q)ψ

s

(0, q)dq.

^(2.20)

Dabei benutzten wir dieZerlegung der Eins,

Z

dq | q ih q | =

¹

,

^(2.21)

und führten den Kern für dieunitäre Zeitentwiklung ein,

K (t, q

^′

, q) = h q

^′

| e

^−itH/¯h

| q i

^(2.22)

Hier ist

K(t, q

^′

, q)

^dieWahrsheinlihkeitsamplitude für diePropagation von

q

^{zur Zeit}

0

nah

q

^{′ zur Zeit}

t

^{. Man shreibt auh}

K(t, q

^′

, q) ≡ h q

^′

, t | q, 0 i .

^(2.23)

Diese Amplitudeerfülltdiezeitabhängige Shrödingergleihung

i¯ h d

dt K (t, q

^′

, q) = HK(t, q

^′

, q),

^(2.24)

wobei

H

^auf

q

^{′ wirkt, und die}Anfangsbedingung

lim

t→0

K(t, q

^′

, q) = δ(q

^′

− q).

^(2.25)

DerPropagator

K

^{istdurhdiese beiden} Bedingungeneindeutig bestimmt.Zum Beispiel hatfür dasniht-relativistishe freieTeilhenin

d

DimensionenmitHamiltonoperator

H

0

in (2.13)der Propagator die expliziteForm

K

₀

(t, q

^′

, q) = h q

^′

| e

^−itH0/¯h

| q i = m 2πi¯ ht

d/2

e

^{im(q′−q)2/2¯ht}

, q, q

^′

∈

^Rd

.

^(2.26)

Speziell ineiner Dimension ist

K

0

(t, q

^′

, q) = m 2πi¯ ht

1/2

e

^{im(q′−q)2/2¯ht}

.

^(2.27)

NahdiesenVorbereitungenkommenwirnunzurPfadintegraldarstellungdesPropagators

für einQuantensystemmitHamiltonoperator

H

^.

2.2 Feynman-Ka Formel

In diesemAbshnittleiten wir dieFeynmanshe Pfadintegraldarstellungfürden unitären

Zeitentwiklungsoperator

exp( − iHt)

^{und die Ka'she} Pfadintegraldarstellung für den positiven Operator

exp( − Hτ)

^ab.

Wir werdendieProduktformelvonTrotterbenötigen.Für Matrizenwurdesiebereits

vonLie bewiesen, und in dieserVersion lautet sie:

Satz von LieFür zwei Matrizen

A

^und

B

^gilt

e

^A+B

= lim

n→∞

e

^A/n

e

^B/n

ⁿ

.

Wir beweisen diese einfahe Formel. Mit den Denitionen

S

n

:= exp[(A + B)/n]

^und

T

n

:= exp[A/n] exp[B/n]

^{können wir shreiben}

k e

^A+B

− e

^A/n

e

^B/n

n

k = k S

_nⁿ

− T

_nⁿ

k

= k S

_nⁿ⁻¹

(S

n

− T

n

) + S

_nⁿ⁻²

(S

n

− T

n

)T

n

+ · · · + (S

n

− T

n

)T

_nⁿ⁻¹

k .

Die Normeines Produktes ist kleiner gleih dem Produkt der Normen, und deshalb gilt

k exp(X) k ≤ exp( k X k )

^{.Mit der} Dreieksungleihung folgt dann

k S

n

k , k T

n

k ≤ a

^{1/n mit}

a = e

^kAk+kBk

,

und damit

k S

_nⁿ

− T

_nⁿ

k ≤ n · a

^(n−1)/n

k S

n

− T

n

k .

Benutzenwirnoh

S

_n

− T

_n

= − [A, B]/2n

²

+O(1/n

³

)

^,soistdieProduktformelfürMatrizen bewiesen.

Der Satzgiltallerdingsauhfürunbeshränkte selbstadjungierteOperatoren

A, B

^für

die

A + B

^{auf dem Durhshnitt ihrer} Denitionsbereihe (wesentlih) selbstadjungiert ist:

Satz von Trotter: Sind

A, B

selbstadjungierte Operatoren und ist

A + B

(wesentlih) selbstadjungiert auf dem Durhshnitt

D

^ihrer Denitionsbereihe, so gilt

e

^−it(A+B)

= s − lim

n→∞

e

^−itA/n

e

^−itB/n

n

.

^(2.28)

Sind

A

^und

B

^{zusätzlih nah unten beshränkt, dann gilt auh}

e

^−τ(A+B)

= s − lim

n→∞

e

^{−τ A/n}

e

^{−τ B/n}

n

.

^(2.29)

Der starke Limes bedeutet, daÿ die Konvergenz für alle Zustände

ψ ∈ D

^{gilt. Die For-}

mel (2.28) wird in der Quantenmehanik gebrauht, die Formel (2.29) dagegen in der

statistishen Mehanik sowie euklidishen Formulierungder Quantenmehanik [22, 23℄.

Nun nehmen wir an, daÿ

H = H

0

+ V

^{ist und wenden die} Produktformel (2.28) auf (2.22) an. Mit

ǫ = t/n

^und

¯ h = 1

^{erhalten wir}

K (t, q

^′

, q) = lim

n→∞

q

^′

| e

^−iǫH0

e

^−iǫV

n

| q

= lim

n→∞

Z

dq

1

· · · dq

n−1 j=n−1

Y

j=0

h q

j+1

| e

^−iǫH0

e

^−iǫV

| q

j

i ,

^(2.30)

wobei wir

R dq

j

| q

j

ih q

j

| =

^{1 benutzten sowie}

q = q

0 ^und

q

^′

= q

n ^{setzten. Das Potential}

V

istdiagonal inder Ortsdarstellung, so daÿ

h q

j+1

| e

^−iǫH0

e

^−iǫV

| q

j

i = h q

j+1

| e

^−iǫH0

| q

j

i e

^−iǫV(qj)

.

^(2.31)

Jetzt setzen wir für den Propagator des freien Teilhens mit Hamiltonoperator

H

₀ ^das

Resultat (2.26)ein. Es folgt

K(t, q

^′

, q) = lim

n→∞

Z

dq

1

· · · dq

n−1

m 2πiǫ

n/2

· exp (

iǫ

j=n−1

X

j=0

"

m 2

q

j+1

− q

j

ǫ

2

− V (q

j

)

#)

.

^(2.32)

Diese Feynman-Ka Formel liefert die gesuhte Pfadintegraldarstellung für den Zeitent-

wiklungskern.

Um zu sehen,warum dierehte SeitePfad- oder Wegintegral heiÿt,verbinden wir die

Punkte

q = q

0

, q

1

, . . . , q

n−1

, q

n

= q

^{′ mit Streken, so daÿ wir einen Weg bestehend aus}

kleinen Geradenstüken erhalten, wie inder folgendenAbbildunggezeigt.

q

0 ǫ 2ǫ

s t =nǫ q = q

0 b

q

1

q

2 b

q

^′

= q

n

Wir unterteilen das Intervall

[0, t]

ⁱⁿ

n

^{gleih lange T}eilintervalleder Länge

ǫ = t/n

^und

identizieren

q

k ^mit

q(s = kǫ)

^{. Dannist der Exponent in(2.32) das Riemannshe Integral}

für die klassishe Wirkung eines sih längs des stükweise geraden Weges bewegenden

Punktteilhens,

j=n−1

X

j=0

ǫ

"

m 2

q

j+1

− q

j

ǫ

2

− V (q

j

)

#

= Z

t

0

ds

"

m 2

dq ds

2

− V q(s)

#

.

^(2.33)

Das

n − 1

^{-fahe Integral}

R

dq

1

. . . dq

n−1 ^{ist danndie Summeüberallestükweise geraden}

Wege von

q

^nah

q

^{′. Da jeder stetige Wegvon}

q

^nah

q

^{′ durh einen stükweise geraden}

Wegapproximiertwerdenkannunddawir denKontinuumslimes

n → ∞

beziehungsweise

ǫ → 0

vollführen,könnenwirdas IntegralalsSummeüberalleWegeansehen,diezurZeit

t = 0

^bei

q

^{beginnenund zur Zeit}

t

^bei

q

^{′ enden. Setzenwir noh}

m

2πiǫ

n/2

= C

^(2.34)

miteinerKonstanten

C

^{,welhezu einemunitären}Zeitentwiklungskern Anlaÿgibt,dann nden wir

K (t, q

^′

, q) = C

Z

q(t)=q^′

q(0)=q

D q e

^iS[q]/¯h

.

^(2.35)

DasformaleMaÿ

D q

^istüberdenGrenzprozess (2.32)erklärt.Dadasunendlihe Produkt vonLebesquemaÿen nihtexistiert, hat

D

^{keine präzise} mathematishe Bedeutung. Aber man kann einMaÿauf allenWegendenieren, wenn mandas Pfadintegral zuimaginären

Zeiten fortsetzt.

DieFormel(2.35)giltauhfürTeilhen,diesihinmehralseinerDimensionbewegen,

oder fürallgemeinereSysteme mitverallgemeinertenKoordinaten

q

¹

, . . . , q

^{N. Fürweitere}

Eigenshaften des Pfadintegrals sowie Beispiele und Anwendungen verweise ihauf [24℄.

2.3 Euklidishes Pfadintegral

Deroszillierende Integrand

exp(iS)

^imPfadintegral (2.35)führtaufDistributionen. Falls es gelingen würde, die Oszillationen zu unterdrüken, dann gäbe es vielleiht die Mög-

lihkeit, ein wohldeniertes Pfadintegral zu konstruieren. Dies mag erklären, warum in

beinaheallenrigorosenArbeitenzumPfadintegraleineimaginäreZeitangenommenwird.

FürimaginäreZeitenkanninder TateinMaÿaufallenPfaden strengkonstruiertwerden

und die Konstruktion führt auf das Wiener-Maÿ. Mit einer sogenannten Wikdrehung

wirdalso

t

^{zu imaginärenZeitenanalytish}fortgesetztund beider inversenWikdrehung rotiert man wieder zurük zu reellen Zeiten. In der Praxis ersetzt man im Pfadintegral

(2.35) die Zeit

t

^durh

− iτ

^{, versuht das so erhaltene euklidishe} Pfadintegral zu lösen, und ersetzt inder Lösungdie imaginäreZeit

τ

^{wieder durh}

it

^.

2.3.1 Quantenmehanik für imaginäre Zeiten

Fürselbstadjungierte Hamilton-Operatorenhat der unitäreZeitentwiklungsoperatordie

Spektraldarstellung

U(t) = e

^−iHt

= Z

e

^−iEt

dP

E

,

^(2.36)

wobei

P

E ^{diespektraleFamilievon}

H

^{ist.DerTräger desIntegralesistdas Spektrumvon}

H

^{.Für eindiskretes Spektrumist}

P

E ^derorthogonale Projektorauf denvonallenEigen- funktionen mit Energien

≤ E

aufgespannten Unterraum von

H

^{. Wir wollen annehmen,}

daÿ der Hamilton-Operatornah unten beshränkt ist.Dann können wir eine Konstante

addieren, so daÿ

H ≥ 0

^{gilt und das Integral (2.36) von}

0

^bis

∞

^{geht. Jetzt ersetzen wir}

t → t − iτ

^{mitdem Resultat}

e

^−(τ+it)H

= Z

∞

0

e

^−E(τ+it)H

dP

E

.

^(2.37)

Mit unseren Annahmen ist dies eine holomorphe Halbgruppe in der unteren komplexen

Halbebene

{ t − iτ ∈

^C

, τ ≥ 0 } .

^(2.38)

Kennen wir den Operator (2.37) auf der unteren imaginären Ahse

(t = 0, τ ≥ 0)

^{, dann}

könnenwir zur reellenAhse

(t, τ = 0)

^analytishfortsetzen. Wenn wir inder Minkowski Metrik

ds

²

= dt

²

− dx

²

− dy

²

− dz

^{2 die Zeit} fortsetzen,

t → − iτ

^{dann erhalten wir eine}

Metrikmiteuklidisher Signatur.Deshalb nennt mandieTheoriemitimaginärerZeitoft

euklidisheTheorie.StrenggenommenistdieserNamenurfürrelativistishe Feldtheorien

(und niht inder Quantenmehanik) angebraht.

Die Entwiklungsoperatoren

U (t)

^{sind fürallereellen Zeitendeniert und bildeneine}

einparametrige unitäre Gruppe.

U(t)

^erfülltdie Shrödingergleihung

i d

dt U(t) = HU (t)

und der Kern

K(t, q

^′

, q) = h q

^′

| U (t) | q i

^{istkomplex und} oszillierend.

Für imaginäreZeiten sind dieEntwiklungsoperatoren

U (τ) = e

^{−τ H (2.39)}

hermitesh (und niht unitär) mit reellem Spektrum. Die

U (τ)

^{existieren für positive}

τ

und bilden eine Halbgruppe. Für beinahe alle Anfangsdaten ist eine Entwiklung in die

imaginäreVergangenheit allerdingsunmöglih.

U (τ )

^{erfüllt eine} Diusionsgleihung,

d

dτ U(τ ) = − HU (τ),

^(2.40)

miteinem für reelle Hamilton-Operatorenreellen Kern 1

K(τ, q

^′

, q) = h q

^′

, τ | q, 0 i = h q

^′

| e

^{−τ H}

| q i

^mit

K (0, q

^′

, q) = δ(q

^′

, q).

^(2.41)

Der Kern iststrikt positiv:

Satz: Das Potential

V

^{sei stetig und nah unten beshränkt, und}

H = −

¹₂

△ + V

^sei

1

BeieinerKopplungandasmagnetisheFeld wird

H

^unddamit

U (τ)

^komplex.

wesentlih selbstadjungiert. Dann ist

h q

^′

| e

^{−τ H}

| q i > 0.

^(2.42)

Für einen Beweis dieses Satzes verweise ih auf das Buh von Glimm und Jaffe [21℄,

Seite 50. Zum Beispiel sind die Kerne für das freie Teilhen in

d

Dimensionen und für imaginäreZeiten

K

₀

(τ, q

^′

, q) = m 2πτ

d/2

e

^{−m(q′−q)2/2τ (2.43)}

und den harmonishen Oszillator in

d

Dimensionen und für imaginäreZeiten

K

ω

(τ, q

^′

, q) = mω 2π sinh ωτ

d/2

exp

− mω 2

(q

^′2

+ q

²

) coth ωτ − 2q

^′

q sinh ωτ

,

^(2.44)

oensihtlihpositiv.DiesePositivität istwesentlihfürdieweitreihendeBeziehungzwi-

shen der euklidishen Quantenmehanik (Quantenfeldtheorie) und der Wahrsheinlih-

keitstheorie. Die Gröÿe

P (τ, q) = C · h q, τ | 0, 0 i = C · K (τ, q, 0),

^(2.45)

kannalsWahrsheinlihkeitfürdieBewegungvon

0

^nah

q

^imZeitintervall

τ

interpretiert werden

2

. Die Wahrsheinlihkeitdafür irgendwo zu landenmuÿ Eins sein,

C · Z

dq h q, τ | 0, 0 i = C · Z

dqK(τ, q, 0) = 1,

^(2.46)

und diese Forderung legt

C

^{fest. Für einfreiesTeilhen erhältman}

P

τ

(q) = m

2πτ

d/2

e

^−mq2/2τ

,

und dies istdieWahrsheinlihkeitsdihtefür dieBrownsheBewegung mitDiusionsko-

ezient

D = 1/2m

^.

Vakuumerwartungswerte vonFeldoperatoren anvershiedenen Raumzeitpunktensind

ineiner Quantenfeldtheoriesehr wihtigund werdenin dieser Vorlesungeine groÿe Rolle

spielen.In der Quantenmehanik haben diese Erwartungswerte dieForm

W

⁽ⁿ⁾

(t

1

, . . . , t

n

) = h 0 | q(t

1

) · · · q(t

n

) | 0 i , q(t) = e

^itH

q e

^−itH

.

^(2.47)

2

Umdie Notationeinfahzuhaltenbezeihnethier

q

^undniht

q

^{′ denEndpunkt.}

DiesenahArthur Wightmanbenannten FunktionenändernbeiVertaushung zweier

Argumente, da Ortsoperatoren zu vershiedenen Zeiten niht vertaushen. Wir dürfen

wiederannehmen, daÿ dieEnergie des Grundzustandes

| 0 i

vershwindet. Nunsetzen wir dieWightmanfunktionen zu komplexen Zeiten

z

i

= t

i

− iτ

i ^fort,

W

⁽ⁿ⁾

(z

₁

, . . . , z

_n

) = h 0 | qe

^{−i(z1−z2)H}

qe

^{−i(z2−z3)H}

q · · · q e

^{−i(zn−1−zn)H}

q | 0 i .

^(2.48)

Wirhaben benutzt, daÿ

H

^den Grundzustand annihiliertund deshalb

exp(iζH) | 0 i = | 0 i

gilt.Hier müssen dieImaginärteileder

z

k ^{geordnet sein,}

ℑ (z

_k

− z

_k+1

) ≤ 0.

Mit obigerDenition der komplexenZeiten

z

i ^{folgt dieAnalyzität von}

W

^{(n) im Gebiet}

τ

₁

> τ

₂

. . . > τ

_n

.

^(2.49)

Die Wightmanfunktionen für reelle Zeiten sind deshalb die Randwerte der analytishen

Wightmanfunktionen für komplexe Argumente

W

⁽ⁿ⁾

(t

1

, . . . , t

n

) = lim

ℑzi→0 ℑ(zk+1−zk)>0

W

⁽ⁿ⁾

(z

1

, . . . , z

n

).

^(2.50)

Die Funktionenmit imaginärenArgumenten heiÿenShwingerfunktionen,

S

⁽ⁿ⁾

(τ

1

, . . . , τ

2

) = W

⁽ⁿ⁾

( − iτ

1

, . . . , − iτ

n

)

= h 0 | q e

^{−(τ1−τ2)H}

qe

^{−(τ2−τ3)H}

q · · · q e

^{−(τn−1−τn)H}

q | 0 i .

^(2.51)

Wie sieht dies nun für den Oszillatormit(renormiertem) Hamilton-Operator

H = ωa

^†

a,

aus, wobei

a

^und

a

^{† diebekannten Absteige- und} Aufsteigeoperatoren sind,

q = 1

√ 2mω a

^†

+ a

und

p = i r mω

2 a

^†

− a

mit

[a, a

^†

] = 1.

DerGrundzustand

| 0 i

^{hatdieEnergie}

E

0

= 0

^{undderersteangeregteZustand}

| 1 i = a

^†

| 0 i

die Energie

E

1

= ω

^{. Die} Zweipunkt-Wightmanfunktion hängt nur von der Zeitdierenz

t

1

− t

2 ^ab,

W

⁽²⁾

(t

₁

− t

₂

) = h 0 | q(t

₁

)q(t

₂

) | 0 i = 1

2mω h 0 | (a + a

^†

)e

^{−i(t1−t2)H}

(a + a

^†

) | 0 i

= 1

2mω h 1 | e

^−itωa†a

| 1 i = e

^{−iω(t1−t2)}

2mω ,

und diezugehörige Shwingerfunktion hat dieForm

S

⁽²⁾

(τ

1

− τ

2

) = e

^{−ω(τ1−τ2)}

2mω .

^(2.52)

In einer relativistishen Quantenfeldtheorie sind die Shwingerfunktionen

S

^{(n) invariant}

unter der euklidishen Lorentzgruppe

SO(4)

^und

S

⁽ⁿ⁾

(x

1

, . . . , x

n

)

^{ist eine} symmetrishe Funktion seiner Argumente

x

i

∈

^{R4. In der} Quantenmehanik ist dies niht der Fall.

2.3.2 Das Pfadintegral für imaginäre Zeiten

Nunwollen wir diePfadintegral-Formulierungder Quantenmehanik mitimaginärerZeit

formulieren. Wir erinnern daran, daÿ die Produktformel von Lie und Trotter (2.29) aus

der Formel (2.27) hervorgeht, wenn man

it

^durh

τ

^{ersetzt. Genausowie im kanonishen}

Zugangdreht man diereelle Zeit

t

^miteinerWikrotationindieimaginäreZeit

− iτ

^oder

euklidishe Zeit

τ

^{. Dies ist allerdings nur statthaft, wenn}

H

^{nah unten beshränkt ist.}

Mitdenselben Argumenten wieinder Quantenmehanik mitreellerZeit kann mandiezu

(2.32) analoge Formel für die euklidishe Zeit

τ

^{beweisen. Die einzige Änderung ist die}

Ersetzung von

iǫ

^durh

ǫ

^{.Man ndet}

K(τ, q

^′

, q) = h q

^′

| e

^{−τ H/¯h}

| q i = lim

n→∞

Z

dq

1

· · · dq

n−1

m 2π¯ hǫ

n/2

e

^{−SE(q0,q1,...,qn)/¯h}

mit

S

E

(. . .) = ǫ

n−1

X

j=0

m 2

q

j+1

− q

j

ǫ

2

+ V (q

j

)

,

^(2.53)

wobei wieder

q

0

= q

^und

q

n

= q

^{′ gesetztwurden.}

Die rehte Seite ist die Zustandssumme für ein System auf einem eindimensionalen

Gitter,dessenGitterpunkte mit

j

^{bezeihnet sind.Auf jedem}Gitterpunkt

j

^{isteinereell-}

wertigeVariable

q

_j ^{deniert unddieW}ehselwirkung isteinezwishennähstenNahbarn

q

_j ^und

q

_j+1^{. Die Werte des} Gitterfeldes

{ 0, 1, . . . , n − 1, n } −→ { q

0

, q

1

, . . . , q

n−1

, q

n

}

werden am Rande des Gitters festgehalten,

q

0

= q

^und

q

n

= q

^{′. Das vielfahe Integral}

(2.53) entspriht der Summe über alle Gitterkongurationen. Mit dieser Interpretation

wird

¯ h

^{zu einerTemperaturund derklassishe Grenzfall}

¯ h → 0

^{gehtüberinden Tieftem-}

peraturlimes des Gittersystems.

Im Kontinuumslimes

n → ∞

^{wird die rehte Seite in (2.53) zu einem} euklidishen