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Aufgabe 1. Es sei n das Produkt zweier Primzahlen p und q mit p ≥ q ≥ 5.

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Academic year: 2021

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Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Diskrete Mathematik f¨ ur Informatiker WS 2014/2015

Ubungsblatt 13 ¨

Aufgabe 1. Es sei n das Produkt zweier Primzahlen p und q mit p ≥ q ≥ 5.

Zeige Sie, dass dann | Z

∗n

| ≥

12

n.

Aufgabe 2. Finden Sie x ∈ Z

210

mit den Bedingungen:

1 = x mod 3 3 = x mod 7 5 = x mod 10

Aufgabe 3. 17 chinesische Piraten erbeuten eine Truhe mit Goldst¨ ucken.

Beim Versuch, diese gleichm¨ aßig zu verteilen, bleiben 7 Goldst¨ ucke ¨ ubrig.

Um diese entbrennt ein heftiger Streit, bei dem einer der Piraten das Leben l¨ asst. Die verbleibenden 16 Piraten versuchen erneut, die Goldst¨ ucke gerecht zu verteilen, behalten jedoch 11 St¨ ucke ¨ ubrig. Bei der folgenden Auseinander- setzung geht wieder einer der Streitenden ¨ uber Bord. Den 15 ¨ Uberlebenden gelingt dann die Teilung. Wie viele Goldst¨ ucke m¨ ussen es mindestens gewesen sein?

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass man bei dem RSA-Verfahren aus der Kenntnis der ¨ offentlichen Schl¨ ussel n , k und einer der beiden Primzahlen aus n = p · q, die geheimen Schl¨ ussel ϕ(n) und l berechnen kann.

Aufgabe 5. Gegeben sind die ¨ offentlichen Schl¨ ussel n = 26 und k = 7.

Zus¨ atzlich ist bekannt, dass das Alphabet beginnend bei A=0 durchnumme- riert wird (A=0, B=1, C=2, . . . , Z=25).

(a) Kodieren Sie das Wort

” TOLL“ indem Sie die Buchstaben einzeln mit- tels RSA verschl¨ usseln!

(b) Bestimmen Sie f¨ ur dieses einfache Beispiel einen privaten Schl¨ ussel l und dekodieren Sie mit Hilfe von l die Nachricht

” REHHA“.

Aufgabe 6. Gegeben sind die ¨ offentlichen Schl¨ ussel n = 667 und k = 43.

Sie fangen eine Nachricht mit dem Inhalt 288 ab. Versuchen Sie, den RSA zu knacken und die Nachricht zu dekodieren!

Aufgabe 7. Zeigen Sie, dass zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen F

n

und F

n+1

teilerfremd sind (ggT (F

n

, F

n+1

) = 1).

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1 1 Q aa P 2 P 2 3 Q Q

Heften Sie bitte ihre L¨osungen zusammen und schreiben Sie die Namen aller Personen ihrer Arbeitsgruppe auf die oberste Seite sowie die Tutoriumsgruppe, den Tutor und die Uhrzeit..

() pq , q , p ∈ ! , q ∈ ! np

Gesucht ist eine bijektive Abbildung zwischen den ungekürzten Brüchen und den natür- lichen Zahlen..

() 2 2 2 23 13 0 q < = 1 p − < p 1 ()= ()= () ()= = p + q = 1, = p − q = det A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ det p = A ⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ 23131323 det( 1 − A 2 ) p = p + − p q − q = 2 p 0 + q p − q p − q ! ! pqqp 11 − 11 !"# u = , u = A = 1 2 A = 1

Auch das Abbildungsverhalten ist sofort klar: In Richtung der ersten Achse passiert nichts, in Richtung der zweiten Achse haben wir den Kontraktionsfaktor p − q... In

() () ()= ()= ()= () ()+ ()= () () cos cos n , , p n < ∈ q ! , , p p , , q q ∈ ∈ ! " ,ggT p , q 1 ()= () () () e = e cos n isin n cos ⋅ i sin ∑ cos n − 1 cos sin ∑ ()+ ()= ()+ ()() () ()= () () () cos n isin n cos isin sin n − 1 cos sin ∑

Wir haben jetzt allerdings nur bewiesen, dass cos ( ) n α 1 rational ist (Existenzbeweis), können diese rationale Zahl aber nicht mit Zähler und Nenner darstellen..