Die Differentialgleichung

Beispiel:

Die Differentialgleichung

h

= − ω

h + f

beschreibt die Auslenkung einer Feder unter einer Kraft f .

h(t)

Linearer Oszillator 1-1

allgemeine L¨ osung f¨ ur f (t) = − g

h(t ) = c

sin(ωt) + c

cos(ωt) − 1 ω

g

Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen z.B.: h(0) = 0, h

(0) = g = ⇒

h(t) = g

ω

(ω sin(ωt) + cos(ωt) − 1)

Linearer Oszillator

Die Auslenkung u(t) eines linearen Oszillators bei periodischer Anregung wird durch die Differentialgleichung

u

+ ω

u = c cos(ωt), ω

> 0 , beschrieben.

Die allgemeine L¨ osung setzt sich aus einer freien und einer erzwungenen Schwingung zusammen, u = u

+ u

, wobei

u

(t) = a cos(ω

t) + b sin(ω

t) und

u

(t ) = c

ω

− ω

(cos(ω

t) − cos(ωt)), ω 6 = ω

,

Linearer Oszillator 2-1

sowie

u

(t) = c

2ω t sin(ωt) im Resonanzfall ω = ω

.

Die Konstanten a, b k¨ onnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden:

a = u(0), b = u

(0)/ω

.

Beweis:

cos(ω

t), sin(ω

t ) erf¨ ullen die homogene Differentialgleichung u

+ ω

u = 0 .

Linearkombination L¨ osung u

der Differentialgleichung mit c = 0 Direktes Nachrechnen L¨ osung u

der Differentialgleichung

ω 6 = ω

: d

dt

cos(ωt) + ω

cos(ωt ) = (ω

− ω

) cos(ωt) Multiplikation mit c /(w

− w

) rechte Seite c cos(ωt ) addiere (c/(ω

− ω

)) cos(ω

t )

partikul¨ are L¨ osung mit doppelter Nullstelle bei t = 0:

u

= c cos(ω

t) − cos(ωt) ω

− ω

Linearer Oszillator 3-1

ω = ω

:

Grenz¨ ubergang ω

→ ω

ω

lim

c cos(ω

t) − cos(ωt) ω

− ω

L’Hospital

= lim

ω0→ω

c − t sin(ω

t)

− 2ω

(Differentiation nach ω

)

doppelte Nullstelle der partikul¨ aren L¨ osungen bei t = 0

= ⇒ Bestimmung von a und b aus den Anfgangswerten von u

Beispiel:

F¨ ur die Differentialgleichung

u

+ 4u = 3 cos t ist ω

= 2, ω = 1 und c = 3.

allgemeine L¨ osung:

u(t) = a cos(ω

t) + b sin(ω

t )

| {z }

uh

+ c cos(ω

t) − cos(ωt) ω

− ω

| {z }

up

= a cos(2t) + b sin(2t) + 3

1 − 4 (cos(2t) − cos t) mit a, b ∈ R

Linearer Oszillator 4-1

0 2π 4π 6π 8π 10π 12π

−3

−2

−1 0 1 2 3

u

t

Anfangswerte

u(0) = 0, u

(0) = 2 abgebildete (2π)-periodische L¨ osung

u(t) = sin(2t) − cos(2t ) + cos t

mit a = u (0) = 0 und b = u

(0)/ω

= 2/2 = 1

Beispiel:

F¨ ur die Differentialgleichung

u

+ u = 2 cos t ist ω

= ω = 1 (Resonanz), c = 2.

allgemeine L¨ osung

u = a cos(ωt) + b sin(ωt)

| {z }

uh

+ c 2ω t sin t

| {z }

up

= a cos t + b sin t + t sin t mit a, b ∈ R

Linearer Oszillator 5-1

0 2π 4π 6π 8π 10π 12π

−30

−20

−10 0 10 20 30

u

t

Anfangswerte

u(0) = 3, u

(0) = 0 abgebildete L¨ osung

u (t) = 3 cos t + t sin t mit a = u (0) = 3 und b = u

(0)/ω = 0

Resonanz lineares Wachstum