Separable Differentialgleichung
Eine separable Differentialgleichung
y0=p(x)g(y),
l¨asst sich durch Trennung der Variablen und separates Bilden von Stammfunktionen l¨osen:
Z dy g(y) =
Z
p(x)dx.
Die Integrationskonstante kann dabei durch eine Anfangsbedingung y(x0) =y0
festgelegt werden.
Separable Differentialgleichung 1-1
Beispiel:
Die Differentialgleichung
u0=p(1−u)u, p >0,
modelliert ein Wachstum, das bei zunehmender Dichte (u(t)%1) abnimmt (logistisches Modell).
u
t c <0
c >0 c= 0
Separable Differentialgleichung 2-1
Die Abbildung zeigt das Richtungsfeld f¨ur p= 1 sowie einige der L¨osungen
u = ept c+ept . L¨osung durch Separation der Variablen:
Z du u(1−u) =
Z p dt
Partialbruchzerlegung
1
u(1−u) = 1 u − 1
u−1
ln
u u−1
=pt+c0 ⇔ u
u−1 =±ept+c0 mit einer Integrationskonstantec0 ∈R
Aufl¨osen nachu behauptete Formel f¨uru mitc =∓e−c0
Separable Differentialgleichung 2-2
