Hypergeometrische Differentialgleichung
Die Differentialgleichung
z(1−z)u00(z) + (c−(a+b+ 1)z)u0(z)−abu(z) = 0 besitzt bei z = 0,1,∞ regul¨are Singularit¨aten.
F¨ur−c ∈/ N0 existiert eine analytische L¨osung, die sogenannte hypergeometrische Funktion
u(z) =F(a,b,c,z) =
∞
X
n=0
(a)n(b)n
(c)n(1)nzn mit (t)0 = 1 und (t)n=t(t+ 1)· · ·(t+n−1) f¨urn ≥1.
Hypergeometrische Differentialgleichung 1-1
Beweis:
Division durch z(1−z)
u00(z) +q(z)u0(z) +p(z)u(z) = 0 mit (nach Umformung)
q(z) = (c−cz) + (c −a−b−1)z
z(1−z) = c
z +1 +a+b−c z−1 p(z) = ab
z(z−1)
regul¨are singul¨are Punkte: z = 0,1
Hypergeometrische Differentialgleichung 2-1
Transformationt = 1/z,dt/dz =−1/z2 =−t2 und u(z) = ˜u(t):
u0 = u˜0· dt
dz =−t2u˜0 u00 =
d
dtu0 dt dz
= −2tu˜0−t2u˜00 (−t2)
= 2t3u˜0+t4u˜00
Einsetzen in die Differentialgleichung und Division durch t4
˜
u00+ ˜qu˜0+ ˜pu˜= 0 mit
˜
q(t) = 2
t −ct+ (1+a+b−c)t1−t
t2 = 2−c
t −1 +a+b−c t(1−t)
˜ p(t) =
abt2 1−t
t4 = ab t2(1−t)
z =∞ ebenfalls regul¨arer singul¨arer Punkt
Hypergeometrische Differentialgleichung 2-2
Ansatz
u(z) =u0+u1z +u2z2+· · ·
Vergleich der Koeffizienten von znin der Differentialgleichung
−n(n−1)un+ (n+ 1)nun+1+c(n+ 1)un+1−n(a+b+ 1)un−abun= 0 Rekursion
un+1= n2−n+na+nb+n+ab
(n+c)(n+ 1) un= (n+a)(n+b) (n+c)(n+ 1)un u0= 1 =⇒
u1 = ab
c·1, u2 = (a+ 1)(b+ 1)ab (c+ 1)·2·c·1 und
un= (a)n(b)n (c)n(1)n
Hypergeometrische Differentialgleichung 2-3
