H. Homogene Funktionen

H. Homogene Funktionen

G. Kahl (Institut f¨ur Theoretische Physik) Phasen¨uberg¨ange und kritische Ph¨anomene – Erg¨anzung 5. November 2012 1 / 4

1. Homogene Funktionen in einer Variablen

f(x) heißthomogen, wenn f¨uralleλ∈Rgilt f(λx) =g(λ)f(x) zum Beispiel istf(x) =x²eine homogene Funktion Konsequenz:

istf(x0) f¨ur ein beliebigesx0bekannt und istg(λ) bekannt, dann istf(x) f¨ur alle x bekannt

es gilt (ohne Beweis):

g(λ) =λ^p pheißtGrad der Homogenit¨at

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2. Homogene Funktionen in mehreren Variablen

f(x1,x2,· · ·,xn) heißthomogen, wenn f¨uralleλ∈Rgilt f(λx1, λx2,· · ·, λxn) =g(λ)f(x1,x2,· · ·,xn) zum Beispiel istf(x1,x2) =x1²+x2²eine homogene Funktion es gilt (ohne Beweis):

g(λ) =λ^p Konsequenzen:

(i) seif(x1,x2) eine homogene Funktion und sei λ= 1/x2, dann gilt f(λx1, λx2) =f

x1

x2

,1

=

1

x2

p

f(x1,x2) somit istf(x1/x2,1) =F(z)eine Funktion in einer Variablenmit

f(x1,x2) =x₂^pF x1

x2

(ii) analog gilt:

f(x1,x2) =x₁^pF˜ x₂

x1

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3. Verallgemeinerte homogene Funktionen

seif(x1,x2) eine Funktion von zwei Variablen (o.B.d.A.), dann heißtf(x1,x2) verallgemeinerte homogene Funktion, wenn f¨uralleλ∈Rgilt

f

λ^ax1, λ^bx2

=λf(x1,x2) wobeiaundbbeliebigsind

es handelt sich (ohne Beweis) um denh¨ochsten Grad der Verallgemeinerung, da die Relation

f

λ^ax1, λ^bx2

=λ^pf(x1,x2)

bereits in obiger Relation enthalten ist

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