5.4Ginzburg-LandauTheorie 5.3.Landau-Theorie 5.2Nicht-wechselwirkendeSpins 5.1MolekularfeldnäherungfürdasIsingSpin-1/2System 5.Molekularfeldnäherung

(1)

5. Molekularfeldn¨ aherung

1 5.1 Molekularfeldn¨ aherung f¨ ur das Ising Spin-1/2 System

2 5.2 Nicht-wechselwirkende Spins

3 5.3. Landau-Theorie

4 5.4 Ginzburg-Landau Theorie

G. Kahl (Institut für Theoretische Physik) Phasenübergänge und kritische Phänomene – Kapitel 5 30. November 2012 1 / 25

(2)

5.1 Molekularfeldn¨aherung f¨ur das Ising Spin-1/2 System

5.1 Molekularfeldn¨ aherung f¨ ur das Ising Spin-1/2 System

gegeben:

Ising Spin-1/2 System (d.h., m¨ ogliche Spineinstellungen s

i

= ±1) N Spins, Temperatur T , ¨ außeres Feld H, Kopplungsst¨ arke J

es wird nur die Wechselwirkung zwischen benachbarten Spins ber¨ ucksichtigt Dimension und Geometrie des Systems sind nicht spezifiziert

die Hamilton-Funktion des Systems ist gegeben durch H = −J X

hi,ji

s

i

s

j

− H

N

X

i=1

s

i

die s

i

bezeichnen die Spins an den Orten i , die Notation h· · · i schr¨ ankt die Summe im Mehrteilchenwechselwirkungsterm auf n¨ achste Nachbarn ein

die Summanden im ersten Term lassen sich folgendermaßen schreiben s

i

s

j

= s

i

hs

j

i + hs

i

is

j

− hs

i

ihs

j

i + (s

i

− hs

i

i) (s

j

− hs

j

i)

(3)

dabei sind die hs

i

i die Ensemblemittelwerte der Spineinstellungen s

i

ist das System translationsinvariant (und gelten periodische Randbedingungen), dann gilt hs

i

i = hs

j

i = hs i

somit erh¨ alt man X

hi,ji

s

i

s

j

= hsi X

hi,ji

s

i

+ hsi X

hi,ji

s

j

− hsi

²

X

hi,ji

1 + X

hi,ji

(s

i

− hs

i

i) (s

j

− hs

j

i)

der letzte Termin, der die Korrelationen zwischen zwei Spins ber¨ ucksichtigt, wird in der Folge vernachl¨ assigt (Molekularfeldn¨ aherung; ’mean field approximation’)

somit erh¨ alt man die Hamilton-Funktion in der Molekularfeldn¨ aherung, H

MF

, H

MF

= −Jzhsi2 1

2

N

X

i=1

s

i

+ JN

2 zhs i

²

− H

N

X

i=1

s

i

= −[Jzhsi + H]

N

X

i=1

s

i

+ JN 2 zhsi

²

bzw. das Molekularfeld, H

MF

,

H

MF

= JZ hsi

(4)

z gibt die Zahl der n¨ achsten Nachbarn an; dieser Parameter ber¨ ucksichtigt teilweise die Dimension und die Geometrie des Systems

Berechnung der Thermodynamik (in der MF-N¨ aherung) Z

N

(H, T ) = X

s₁=±1

· · · X

s_N=±1

exp[−βH

MF

] = · · · =

= exp[−βNJzhsi

²

/2] {2 cosh [β(H + H

MF

)]}

^N

somit

G

N

(H, T ) = −k

B

T ln Z

N

= 1

2 NJz hsi

²

− k

B

TN ln {2 cosh [β(H + H

MF

)]}

mit

G = lim

N→∞

G

N

bzw. g = lim

N→∞

G

N

N Zustandsgleichung:

(i)

M

N

= − ∂G

N

∂H

T

= · · · = N tanh [β(H + H

MF

)]

(ii)

M

N

= Nhsi = Nm (wobei hsi → m) also

m = tanh [β(H + H

MF

)] = tanh [β(H + Jzm)]

(5)

Phasendiagramm, kritisches Verhalten, Thermodynamik:

Phasendiagramm (bei H = 0) L¨ osung der Gleichung

m = tanh(βJzm)

kann nicht analytisch durchgef¨ uhrt werden (daher z.B. graphische L¨ osung erforderlich)

es ergibt sich eine kritische Temperatur bei k

B

T

c

= Jz Magnetisierung m bei T ∼ T

c

da m klein ist, gilt

m = tanh(βJZm) = tanh(T

c

/T ) ∼ T

c

T m − 1 3

T

c

T m

3

+ · · ·

◦ T > T

c

: L¨ osung m = 0

◦ T < T

c

: L¨ osungen:

(i) m = 0 (ii), (iii) m = ± √

3

T_c−T

T_c

1/2

= ± √ 3(−τ)

^1/2

L¨ osung (i) hat eine h¨ ohere Energie als L¨ osungen (ii) und (iii), daher:

m ∼ ± √

3(−τ)

^1/2

∼ (−τ )

^1/2

β = 1/2 (kritischer Exponent) vergleiche van der Waals Gas: bei τ → 0 war |%

fl

− %

g

| ∼ (−τ)

^1/2

(6)

H bei T ∼ T

c

(also τ klein); weiters sei H klein somit folgt aus

m = tanh

βH + T

c

T m die Relation

βH ∼ mτ + 1 3 m

³

bzw. bei τ → 0

H ∼ m

³

δ = 3 vergleiche van der Waals-Gas: bei τ → 0 war π ∼ ω

³

isotherme Suszeptibilit¨ at χ

T

bei T ∼ T

c

χ

T

= ∂M

∂H

T

∼ ∂ m

∂H

T

mit Hilfe obiger Relation f¨ ur H folgt:

∂

∂H H

k

B

T

c

∼ ∂

∂H

τm + 1

3 m

³

+ · · · 1

k

B

T

c

∼ τ χ

T

+ m

²

χ

T

also χ

T

∼ 1 k

B

T

c

1 τ + m

²

(7)

◦ T > T

c

:

χ

T

∼ 1

k

B

T

c

1 τ + 0 ∼ 1

k

B

1 1(T − T

c

)

¹

◦ T < T

c

:

χ

T

∼ 1

k

B

T

c

"

T − T

c

T

c

+ 3

− T − T

c

T

c

| {z }

da m²∼−3τ

#

−1

= 1 k

B

1 2(T

c

− T )

¹

kritische Exponenten γ = γ

⁰

= 1; Verh¨ altnis der Vorfaktoren 1:2 vergleiche van der Waals-Gas: bei τ → 0 war κ

T

∼ (−τ )

⁻¹

thermodynamische Potentiale

g (H, T ) = G

N

(H, T )

N = 1

2 Jzm

²

− k

B

T ln h

2 cosh

β(H + Jzm)

| {z }

βHTc/Tm

i

= · · · =

= 1

2 Jzm

²

− k

B

T ln 2 + k

B

T

2 ln(1 − m

²

)

(8)

Legendre-Transformation von G auf A (bzw. von g auf a) a(M, T ) = A

N

(M, T )

N = 1

N [G

N

(H, T ) + HM] = g (H, T ) + Hm

= 1

2 Jz

|{z}

k_BTc

m

²

− k

B

T ln 2 + k

B

T

2 ln(1 − m

²

) + m

−k

B

T

c

m + k

B

T 2 ln

1 + m 1 − m

der letzte Term entspricht H; man erh¨ alt ihn, indem man die Zustandsgleichung nach H aufl¨ ost

somit

a(M, T ) = − 1

2 k

B

T

c

m

²

− k

B

T ln 2

| {z }

(i)

+ k

B

T 1

2 ln(1 − m

²

)

| {z }

(ii)

+ k

B

T 2 m ln

1 − m 1 + m

| {z }

(ii)

(i) konstanter, m-unabh¨ angiger Term (ii) Terme werden f¨ ur kleine m entwickelt schließlich erh¨ alt man

a(M, T ) + k

B

T ln 2 ∼ 1

2 k

B

(T − T

c

)m

²

+ k

B

Tm

⁴

1 12

| {z }

>0 !

+ · · ·

(9)

5.2 Nicht-wechselwirkende Spins

Sei die Hamilton-Funktion des Systems (N Spins S

i

, ¨ außeres Feld H) gegeben durch H = −g µ

B

N

X

i=1

S

i

H Bemerkungen:

g ist der gyromagnetische Faktor, µ

B

ist das Bohr-Magneton das Skalarprodukt S

i

H kann die Werte m

i

H annehmen, wobei m

i

= −S, −S + 1, · · · , S − 1, S

die S

i

werden oft durch die J

i

(Bahndrehimpulse) ersetzt dann ist

Z

N

(H, T ) =

S

X

m₁=−S

· · ·

S

X

m_N=−S

exp

"

βHgµ

B N

X

i=1

S

i

H

#

= · · · = ( sinh

S +

¹₂

βgµ

B

H sinh

₁

2

βg µ

B

H )

N

Bemerkung:

f¨ ur S = 1/2 geht diese Formel in

Z

N

(H, T ) = [2 cosh(βgµ

B

H/2)]

^N

¨ uber

(10)

5.2 Nicht-wechselwirkende Spins

daher:

G

N

(H, T ) = −k

B

T ln Z

N

= −k

B

TN ln ( sinh

S +

¹₂

βg µ

B

H sinh

₁

2

βgµ

B

H )

M

N

(H, T ) = − ∂ G

∂ H

T

= Nk

B

T ∂

∂H ln Z

N

= NSg µ

B

S

(βSgµ

B

H) wobei

B

S

(x ) = 2S + 1 2S coth

2S + 1 2S x

− 1 2S coth

1 2S x

B

1/2

= tanh

x 2

die Brillouin-Funktion ist; sie geht f¨ ur S → ∞ in die Langevin-Funktion ¨ uber

G. Kahl (Institut für Theoretische Physik) Phasenübergänge und kritische Phänomene – Kapitel 530. November 2012 10 / 25

(11)

5.3. Landau-Theorie

5.3 Landau-Theorie

Grundlagen Annahme:

Entwicklung der thermodynamischen Potentiale in Potenzreihen nahe dem kritischen Punkt (dort ist der Ordnungsparameter M klein und die Abweichung der Temperatur T von der kritischen Temperatur T

c

klein)

Ansatz:

Taylor-Entwicklung des thermodynamischen Potentials in Potenzen des Ordnungsparrameters, unter Ausn¨ utzung der Symmetrie

A(M, T ) ∼ A

0

(T ) + A

2

(T )M

²

+ A

4

(T )M

⁴

+ A

6

(T )M

⁶

+ · · ·

wobei die Koeffizienten A

i

(T ) ebenfalls in Taylor-Reihen bez¨ uglich der Temperatur entwickelt werden:

A

2

(T ) ∼ A

2,0

+ A

2,1

(T − T

c

) + · · · A

4

(T ) ∼ A

4,0

+ A

4,1

(T − T

c

) + · · ·

(12)

5.3. Landau-Theorie

mit

H = ∂A

∂M

T

=

2A

2

+ 4A

4

M

²

+ · · · M (χ

T

)

⁻¹

=

∂

²

A

∂M

²

T

= 2A

2

+ 12A

4

M

²

+ · · ·

da in der N¨ ahe des kritischen Punktes (also bei T → T

c

) χ

T

divergiert, d.h.

T→T

lim

_c

(χ

T

)

⁻¹

= 0 folgt A

2

(T

c

) = A

2,0

= 0

somit ist die Suszeptibilit¨ at in der N¨ ahe des kritischen Punktes gegeben durch (χ

T

)

⁻¹

∼ 2A

2,1

(T − T

c

) + 12 [A

4,0

+ A

4,1

(T − T

c

) + · · · ] M

²

+ · · · Kr¨ ummung von A(M, T ):

Phasen¨ ubergang 1. Ordnung

Doppeltangente (vgl. Maxwell-Konstruktion) Phasen¨ ubergang 2. Ordnung

(13)

5.3. Landau-Theorie

Kritisches Verhalten des Landau-Modells:

(a) M f¨ ur H = 0

ist T < T

c

, dann ist M 6= 0; da H = 0, folgt aus obiger Relation f¨ ur H M

²

∼

− A

2

A

4

∼ − A

2,1

(T − T

c

) 2A

4,0

bzw. M ∼ s

A

2,1

2A

4,0

(−τ)

^1/2

wobei β = 1/2 jener kritische Exponent ist, der angibt, wie der

Ordnungsparameter in der N¨ ahe des kritischen Punktes verschwindet (b) Suszeptibilit¨ at χ

T

in der N¨ ahe des kritischen Punktes

◦ T > T

c

: hier ist M = 0

(χ

T

)

⁻¹

∼ 2A

2

∼ 2A

2,1

(T − T

c

) + · · · bzw. χ

T

∼ τ

⁻¹

wobei γ = 1 jener kritische Exponent ist, der angibt, wie die Suszeptibilit¨ at oberhalb der kritischen Temperatur divergiert

◦ T < T

c

: hier ist M 6= 0 wegen M ∼ p

A

2,1

/2A

4,0

(T

c

− T)

^1/2

gilt

(χ

T

)

⁻¹

∼ 2A

2,1

(T − T

c

) + 12(A

4,0

+ · · · ) M

²

|{z}

A2,1 2A4,0(T_c−T)

+ · · ·

(14)

5.3. Landau-Theorie

somit gilt

(χ

T

)

⁻¹

∼ 4A

2,1

(T − T

c

) + · · · bzw. χ

T

∼ (−τ)

⁻¹

wobei γ

⁰

= 1 jener kritische Exponent ist, der angibt, wie die Suszeptibilit¨ at unterhalb der kritischen Temperatur divergiert

(c) Abh¨ angigkeit von H und M in der N¨ ahe des kritischen Punktes

H = ∂A

∂M

T

=

= h

2A

2

+ 4A

4

M

²

+ · · · i M ∼ h

2A

2,1

(T − T

c

) + 4A

4,0

M

²

+ · · · i M bzw. lim

T→T_c

H = M

³

wobei δ = 3 jener kritische Exponent ist, der einen Zusammenhang zwischen der Magnetisierung M und dem Feld H in der N¨ ahe des kritischen Punktes herstellt Kritikpunkte der Landau-Theorie:

divergente Beitr¨ age zur Entwicklung z.B. Ising-Modell in 2D, H = 0:

A(H = 0, T ) ∼ A(0, T

c

) + a(T − T

c

) + b(T − T

c

)

²

ln(T − T

c

) + · · ·

(15)

5.3. Landau-Theorie

die kritischen Exponenten des Landau-Modells sind die s.g. klassischen kritischen Exponenten; sie sind also falsch

Positive Aspekte der Landau-Theorie:

setzt man zum Beispiel A

4,0

= 0 aber A

6,0

6= 0, dann erh¨ alt man f¨ ur die kritischen Exponenten

β = 1/4 δ = 5 γ = γ

⁰

= 1 damit kann Trikritikalit¨ at beschrieben werden

’Manipulation’ von kritischen Exponenten Verallgemeinerung der Relation

A

2

(T ) = A

2,0

|{z}

=0

+A

2,1

(T − T

c

)

^1(=γ⁰⁾

+ · · · f¨ uhrt zu

A ¯

2

(T ) = ¯ A

2,1

(T − T

c

)

^γ⁰

+ · · ·

wobei der Wert von γ

⁰

noch nicht spezifiert ist und, zum Beispiel, an ein Modell angepasst werden kann; dann folgt (ohne Beweis)

χ

⁻¹_T

= 2A

2,1

|T − T

c

|

^γ⁰

M = s

A

2,1

2A

4,0

|T − T

c

|

^γ⁰^/2

also β = γ

⁰

/2 und δ = 3

(16)

5.3. Landau-Theorie

die Relation

H = ∂A

∂M

T

= 2A

2,1

(T − T

c

)M + 4A

4,0

M

³

+ · · ·

= (2A

2,1

T

c

)τ M + 4A

4,0

M

³

verkn¨ upft τ , H, und M; durch Division dieser Gleichung durch |τ|

^3/2

folgt H

|τ |

^3/2

= ±(2A

2,1

T

c

) M

|τ|

^1/2

+ 4A

4,0

M

|τ|

^1/2

3

diese Relation verkn¨ upft die Skalenvariablen (’scaling variables’) H ˜ = H

|τ |

^3/2

M ˜ = M

|τ|

^1/2

somit hat die Zustandsgleichung in diesen Skalenvariablen folgende Gestalt H ˜ = ±α M ˜ + β M ˜

³

es tritt also kein τ (und somit keine Temperatur) mehr auf Frage: wie verhalten sich ˜ H und ˜ M wenn τ → 0

Antwort: Skalenhypothese von Widom (Kapitel 7)

(17)

5.4 Ginzburg-Landau Theorie

Bemerkungen:

ph¨ anomenologische Theorie, die mit makro- und mesokopischen Gr¨ oßen arbeitet und mikroskopische Gr¨ oßen vermeidet

soll in der N¨ ahe des kritischen Punktes g¨ ultig sein:

daher sind τ ∼ (T − T

c

) und der Ordnungsparameter klein sie stellt einen intuitiven Zugang dar

Beispiel: Ising Modell

s

i

→ m(r) = 1 N

c

a

^d₀

X

i

g(r − r

i

)s

i

wobei m(r) die lokale Magnetisierung und g(x) eine geeignete Mittelungsfunktion ist a

0

· · · Gitterkonstante

a

x

· · · lineare Abmessung der Mittelungszelle L · · · makroskopische Dimension des Systems mit a

0

a

x

L

d · · · Dimension des Systems

N

c

· · · Zahl der Spins in der Mittelungszelle

(18)

Folgen:

alle Fluktuationen mit Wellenl¨ angen kleiner als a

x

werden unterdr¨ uckt Fourier-Komponenten mit Wellenzahlen gr¨ oßer als Λ ∼ 1/a

x

werden nicht ber¨ ucksichtigt

Ginzburg-Landau Funktional: an Stelle von

A(M, T ) = A

0

(T ) + A

2

(T )M

²

+ A

4

(T )M

⁴

+ · · · G (H, T ) = A

0

(T ) + A

2

(T )M

²

+ A

4

(T )M

⁴

+ · · · − HM verwendet man nunmehr folgenden Ansatz [unter Annahme der Symmetrie m(x) → −m(x)] f¨ ur das Ginzburg-Landau Funktional F[m]

F [m] = Z

d

^d

x

|{z}

dx

a(T )m

²

(x) + b

2 m

⁴

(x) + · · · + c [∇m(x)]

²

+ · · · − H(x)m(x)

mit a(T ) = a

⁰

(T − T

c

) (vgl. Landau-Theorie) weiters gilt dann:

Q(H, T ) ∝ Z

D[m] exp {−βF[m]}

G (H, T ) = −k

B

T ln Q(H, T )

(19)

Bemerkungen:

D[m] bezeichnet die funktionale Integration

eine Verallgemeinerung des Konzepts von m(x) (∈ R ; entspricht z.B. dem

Ising-Modell) auf m(x) (∈ R

^d

; entspricht z.B. dem Heisenberg-Modell) ist m¨ oglich die Form des Ginzburg-Landau Funktionals ist sehr allgemein; es l¨ aßt sich f¨ ur verschiedene Formen von Phasen¨ uberg¨ angen aufstellen

keine mikroskopische Herleitung notwendig M¨ oglichkeiten der Auswertung des Funktionals:

(a) Ginzburg-Landau N¨ aherung

die wahrscheinlichste Konfiguration von m(x) ist durch den ’station¨ aren’ Zustand gegeben, also ’bei’

δF

δm (x) = 2 h

a + bm

²

(x) − c∇

²

i

m(x) − H(x) = 0

wobei das Minus im Gradiententerm durch den Oberfl¨ achenterm zustande kommt im Funktionalintegral wird dann der Integrand durch jenes m(x) ersetzt, das dem

’statischen’ Zustand entspricht

(20)

(b) Gauß-N¨ aherung Annahmen:

◦ im Fuktional werden alle Terme bis zur zweiten Ordnung in m(x) ber¨ ucksichtigt;

daher muß a > 0 bzw. τ > 0 sein

◦ H = 0

m(x) wird in Fourier-Komponenten zerlegt (’BZ’ bezeichnet die Brillouin-Zone) m(x) = 1

L

^d/2

X

k∈BZ

m

k

exp(i kx) mit m

^?_k

= −m

k

dann ist

Z

dx m

²

(x) = X

k

a m

k

m

−k

Z

d xc [∇m(x)]

²

= X

k

c k

²

m

k

m

−k

somit erh¨ alt man f¨ ur F[m]

F [m] = Z

d x h

a m

²

(x) + c [∇m(x)]

²

i

= X

k

a + ck

²

m

k

m

−k

(21)

ist L groß, dann kann man den Kontinuumslimit durchf¨ uhren (mit k =

^2π_L

n) m(x) = 1

L

^d/2

X

k∈BZ

m

k

exp(i kx) → m(x) = 1 V

X

k∈BZ

m

k

exp(ikx)

→ 1

(2π)

^d

Z

|k|<Λ

dk m

k

exp(ikx) wobei Λ der Radius der Brillouin-Kugel ist

daher l¨ aßt sich die funktionale Integration durch eine Integration ¨ uber die Fourier-Komponenten m

k

ersetzen

Z

D[m] · · · → Π

|k|<Λ

Z

dm

k

· · · wobei die m

k

∈ C

f¨ ur die Zustandssumme Q (H = 0, T ) ergibt sich somit Q(H = 0, T ) =

Z

D[m] exp {−βF[m]} = Π

|k|<Λ

Z

dm

k

exp {−βF [m]}

| {z }

Π_kexp[−β(a+ck²)m_km_−k]

h¨ alt man k fest, so gilt (f¨ ur den allgemeinen Fall, daß m(x) ∈ R

ⁿ

) Z

dm

k

exp[−β(a + ck

²

)m

k

m

−k

] = · · · ∝

r π β(a + ck

²

)

n

(22)

insgesamt erh¨ alt man:

Q(H = 0, T ) ∝ Π

|k|<Λ

π β(a + ck

²

)

n/2

G (H = 0, T ) = G

0

− k

B

T n 2

X

|k|<Λ

ln π

β(a + ck

²

)

Berechnung der spezifischen W¨ arme (in d Dimensionen)

c

H=0

= C

H=0

V = −T

∂

²

G

∂T

²

H=0

1 L

^d

= · · · = k

B

n 2 (Ta

⁰

)

²

1 L

^d

X

|k|<Λ

1 (a + ck

²

)

²

+ · · ·

→

|{z}

Lgross

k

B

n 2 (Ta

⁰

)

²

Z

|k|<Λ

dk (2π)

^d

1 (a + ck

²

)

²

+ · · · nun wird die Korrelationsl¨ ange ξ ¨ uber

ξ = r c

a = r c

a

⁰

1 (T − T

c

)

^1/2

eingef¨ uhrt, die offensichtlich bei T = T

c

divergiert

(23)

mit q = kξ erh¨ alt man dann

c

H=0

= k

B

n 2 (Ta

⁰

)

²

Z

q<Λξ

dq 1 (2π)

^d

1 ξ

^d

1 (1 + q

²

)

²

1 a

²

|{z}

ξ4 c2

= ξ

^4−d

"

k

B

n 2

Ta

⁰

c

2

Z

q<Λξ

dq 1 (2π)

^d

1 (1 + q

²

)

²

#

∝ ξ

^4−d

A

wobei sowohl ξ als auch die Amplitude A bei T

c

divergieren k¨ onnen in der Folge werden Integrale der Form

1 (2π)

^d

Z

d qf (q

²

) =

Z d Ω

d

(2π)

^d

| {z } [

²^(d−1)^π^d/2^Γ(d/2)

]

⁻¹

Z

dq q

^d−1

f (q

²

)

f¨ ur verschiedene Dimensionen d betrachtet, wobei wir nur an einem m¨ oglichen singul¨ aren Verhalten der Integrale interessiert sind

(24)

(a) d < 4

Z

Λξ 0

dq q

^d−1

1 (1 + q

²

)

²

= · · · = endl. + O(Λξ)

^d−4

das Integral konvergiert f¨ ur Λ → ∞

(b) d = 4

Z

Λξ 0

dq q

³

1 (1 + q

²

)

²

= · · · ∼ ln Λξ das Integral divergiert f¨ ur Λ → ∞

(c) d > 4

Z

Λξ 0

dq q

^d−1

1 (1 + q

²

)

²

= · · · = −A

1

+ A

2

(Λξ)

^d−4

das Ergebnis des Integrals zeigt Potenzverhalten in Λ f¨ ur Λ → ∞

(25)

schließlich erh¨ alt man mit c

H=0

= ξ

^4−d

A

c

_H=0^sing

∼



 

 

 

 

ξ

^4−d

A = A(T − T

C

)

⁻^4−d²

divergent d < 4

1 · ln(Λξ) ∼ ln(T − T

c

) d = 4

ξ

^4−d

−A

1

+ A

2

(Λξ)

^d−4

∼ A

2

+ A

1

(T − T

c

)

^d−4² ⁰

cusp

⁰

d > 4