1 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung Gew¨ohnliche Differentialrechnung

Grundlage: Eigene Aufzeichnungen aus der Vorlesung

Mario Chemnitz 3. September 2007

1 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

Definition 1 Unter einer DGL erster Ordnung versteht man eine Gleichung y^′=K(x, y) x, y∈R.

Eine reellwertige Funktiony(x)|I heißt L¨osung der obigen DGL, wenn y(x)auf I stetig diff.bar ist undy^′(x) =K(x, y)f¨ur alle x∈I gilt.

Die Menge aller L¨osungen der DGL heißt allgemeine L¨osung.

Eine einzelne L¨osung dieser Menge wird als spezielle L¨osung bezeichnet.

Bei einem AWP f¨ur die DGL ist zus¨atzlich noch in einem Punktx0 der Wert der L¨osungsfunktion y(x0) =y0 vorgegeben.

Definition 2 Eine DGL der Form

y^′=f(x)·g(y) heißt DGL mit trennbaren Variablen.

Unter einem Richtungsfeld versteht man die Menge aller Linienelemente (Linienelement:

[x, y, K(x, y)] ), d.h. alle Anstiege y^′ bzw. Richtungen, die durch Punkte (x, y) zuordenbar sind.

L¨osen der DGL heißt dann eine Funktion y(x) zu finden, die in das Richtungsfeld passen, d.h. f¨ur die gilt:

(x, y, y^′(x))∼= (x, y, K(x, y))

Differentialgleichungen vom Typ y^′ =h

ax+by+c αx+βy+γ

1. Fall y^′=h(ax+by+c) (∗)

Ansatz: z(x) = ax+b y(x) +c −→^(∗) y^′(x, y) =h(z) Seiy(x) Lsg. von (∗). Bilden der Ableitung von z(x):

z^′(x) = a+b y^′(x)

= a+b h(z(x))

→DGL erster Ordnung mit trennbaren Variablenz^′=f(z)

→L¨osen und Einsetzen ergibt:

y(x) = 1

b(z(x)−ax−c) b6= 0

⇒Ist L¨osung von (∗)!

2. Fall y^′=h(^y_x) x6= 0

Ansatz: z(x) = ^y(x)_x bzw. z(x)·x=y(x) Seiy(x) Lsg. Bilden der Ableitung vonz(x):

z^′(x)·x = y^′(x)

= h(z(x)) z^′(x) = 1

x·

h(z)−z

→DGL erster Ordnung mit trennbaren Variablenz^′=f(z)

→L¨osen und inz(x)·x=y(x) einsetzen.⇒L¨osung!

3. Fall y^′=h

ax+by+c αx+βy+γ

Sonderfall: α=β = 0 −→ 1. Fall 3.1

a b α β

= 0 ⇒ α b=a β Wennβ = 0 (α6= 0) ⇒ b= 0

y^′=h

ax+c αx+γ

→ trivial

Wennα= 0 (β 6= 0) ⇒ a= 0 y^′ =h

by+c βy+γ

→ trivial

Wennβ 6= 0 undα6= 0 dann ex.λmita=λα,b=λβ y^′ = h

λαx+λβy+c αx+βy+γ

Ansatz: z(x) = αx+βy(x) z^′ = α+β·y^′

= α+β·h

λz+c z+γ

→ trivial

3.2

a b α β

6= 0 ⇒ α b6=a β Dann ist das Gleichungssystem

ax1+bx2+c = 0 αx1+βx2+γ = 0

eindeutig l¨osbar.−→L¨osung (x1, x2) bestimmen!

Nun Einf¨uhrung neuer Variablen: x:=u+x₁, y:=v+x₂ v(u) := y(u+x1)−x2

dv du

Kettenregel

= dy

dx ·dx du

Substitution

= dy

dx ·d(u+x1)

| du{z }

=0

= y^′(u+x1) dv

du(u) = h

a(u+x1) +b(v(u) +x2) +c α(u+x1) +β(v(u) +x2) +γ

= h

au+bv(u) αu+βv(u)

da

−→ ax1+bx2+c= 0

v^′ = h

a+b_u^v α+β ^v_u

u6= 0

−→(Euler) homogene DGL→2. Fall!

1.4 aus den Aufzeichnungen fehlt!!!

Definition 3 Eine DGL der Form

y^′ =P(x)y+Q(x)yⁿ n∈R heißt Bernouli’sche DGL.

Vor¨uberlegung:

y^′ = P(x)y+Q(x)yⁿ |:yⁿ y⁻ⁿy^′

| {z }

Kettenregel

= P(x)y¹⁻ⁿ+Q(x) 1

1−n

d(y¹⁻ⁿ)

dx = P(x)y¹⁻ⁿ+Q(x) Subst.: z(x) =y¹⁻ⁿ

z^′(x) = (1−n)·P(x)z(x) + (1−n)·Q(x) Satz 1 Es sei y^′=P(x)y+Q(x)yⁿ mit y(x0) =y0>0;

P(x), Q(x)stetig auf I(x0∈I) und n6= 0,1 (da bereits bekannt).

Dann besitzt das AWP genau eine L¨osung auf dem Teilintervall I.˜ y(x) ist durchy(x) =z(x)¹⁻¹ⁿ auf dem gr¨oßtenx0 enthaltenen TeilintervallI˜definiert, auf dem z(x)durchweg positiv ist.

z(x)ist dabei die L¨osung vonz^′(x) = (1−n)·[P(x)z(x) +Q(x)](bei einem AWP giltz(x0) =z0).

Tipp: Die L¨osung dieser DGL erfolgt i.a. ¨uber die Variation der Konstanten.

Definition 4 Eine DGL der Form

y^′ =f(x)y²+g(x)y+h(x) heißt Riccati’sche DGL.

Satz 2 Es sei f(x), g(x), h(x)stetig auf I.

Isty_p(x)eine partikul¨are L¨osung der Riccati’schen DGL, so erh¨alt man alle L¨osungen dieser DGL in der Form y=y_p+u, wobei udie allgemeine L¨osung der Bernoulli’schen DGL

u^′ = [2f(x)yp+g(x)]·u+f(x)u² Definition 5 Eine DGL der Form

P(x, y) +Q(x, y)·y^′ = 0

P(x,y), Q(x,y) stetig auf D (Def.Rechteck)

heißt exakt, wenn eine stetig partiell diff.bare Funktion F(x, y)|D existiert mit

∂F

∂x(x, y) = P(x, y)

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y) (x, y)∈D (P,Q) heißt Potentialfeld/Gradientenfeld, wenn gilt

∂F

∂y(x0, y0) = lim

y→y0

F(x0, y)−F(x0, y0) y−y0

Satz 3 Gegeben seien eine exakte DGL und die zugeh¨orige Potentialfunktion F(x,y).

(i) y(x)ist eine Lsg. der DGL genau dann wenn F(x, y(x)) =const ∀x (ii) x(y)ist eine Lsg. der DGL genau dann wenn F(x(y), y) =const ∀y

(iii) Ist (x0, y0)∈D undgrad F(x0, y0)6= (0,0) so ist die DGL mit dem Anfangswerty(x0) =y0

in der Def.Umgebung l¨osbar.

Satz 4 P(x, y), Q(x, y)|D seien stetig partiell diff.bar.

Die obige DGL ist exakt genau dann wenn auf D gilt

∂P

∂y(x, y) = ∂Q

∂x(x, y).

Sei(x0, y0)∈D fixiert, so l¨asst sich eine Partialfunktion F(x,y) bestimmen als F(x, y) =

Zx

x0

P(t, y0)dt+ Zy

y0

Q(x0, s)ds

Die L¨osung des AWP wird dann implizit gegeben durch F(x, y) = 0 P =∂F

∂x Q= ∂F

∂y

∂P

∂y = ∂²F

∂x∂y

i.a.= ∂Q

∂x = ∂²F

∂x∂y Rechenvariante:

Bemerkung:F(x, y) =cl¨ost die DGL nur, wenn sie exakt ist!

G(x, y) = Z

Q(x, y)dy F(x, y) := G(x, y) +ϕ(x)

∂F

∂x(x, y) = ∂G

∂x(x, y) +ϕ^′(x) =^! P(x, y)

→ ϕ^′(x) ermitteln

→ ϕ(x) berechnen

→ F(x, y) nach y(x) umstellen =⇒L¨osung!

Multiplikator-Methode:

Gesucht wird eine FunktionM(x, y), sodass eine nicht-exakte DGL nach Multiplikation mit M(x,y) in eine exakte DGL bergeht.

M(x, y)·P(x, y) +M(x, y)·Q(x, y)·y^′ = 0

∂(M P)

∂y = ^∂M_∂y ·P+M· ^∂P_∂y =^{! ∂M}_∂x ·Q+M ·^∂Q_∂x =∂(M Q)

∂x Spezialf¨alle integrierender Faktoren:

Spezielle DGL Integrierender Faktor

h∂P

∂y −^∂Q_∂xi

·Q(x,y)¹ =f(x) M(x) = exp^Rf(x)dx h∂P

∂y −^∂Q_∂xi

·_P(x,y)¹ =g(y) M(y) = exp^−Rg(y)dy h∂P

∂y −^∂Q_∂xi

·_{x P}(x,y)−y Q(x,y)¹ =h(x·y) M(x·y) = exp^−Rh(t)dt|t=xy

2 Existenz- und Unit¨ atss¨ atze

Integraloperator

y(x) sei eine L¨osung des AWPy(x0) =y0. y^′(x) = k(x, y(x))

y(x) = y0+ Zx

x0

k(t, y(t))dt (Integralgleichung)

(Ky)(x) := y₀+ Zx

x0

k(t, y(t))dt

Und umgekehrt isty(x) eine stetige Fkt., die die gegebene Integralfunktion l¨ost. So ist y(x) stetig diff.bar und l¨ost das AWP.

K ist ein Integraloperator, der stetige (diff.bare) Funktionen wiederum zu stetigen Funktionen ableitet.

Lipschitzbedingung (bzgl. y):

∃L >0 ∀(x, y),(x,y)¯ ∈Q = {(x, y) :|x−x0| ≤c,|y−y0| ≤d}:

|k(x, y)−k(x,y)¯ | ≤ L|y−y¯|

[. . .] Abschnitt 2 wird an dieser Stelle nicht weiter gef¨uhrt!

3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Definition 1 Eine DGL der Form

y⁽ⁿ⁾(x) +pn−1(x)·y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +· · ·+p1(x)·y^′(x) +p0(x)·y(x) = q(x)

mitpn−1(x), . . . , p1(x), p0(x), q(x) |J heißt lineare DGL n-ter Ordnung.

Lemmata

• Lemma 1 Die allgemeine Lsg. der inhomogenen DGL ist gleich der Summe aus der allge- meinen Lsg. der homogene DGL und einer partikul¨aren Lsg. der inhomogenen DGL:

y_inh(x) =y_homog(x) +y_part(x)

• Lemma 2 Jede Linearkombinationu(x) =c1u1(x) +· · ·+cnun(x)von Lsg.en der homoge- nen DGL ist wieder eine Lsg. dieser DGL.

• Lemma 3 Sind die Funktionenpn−1(x), . . . , p1(x), p0(x), q(x)stetig aufJ = [x, y], so besitzt f¨ur jedesx0∈[a, b]das AWP

y(x0) =y0; . . .; y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) =y₀⁽ⁿ⁻¹⁾ ∀(y0, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾₀ )∈Rⁿ genau eine Lsg. auf[a, b].

Homogene DGL

x0= [a, b] (y0, . . . , y₀⁽ⁿ⁻¹⁾)∈Rⁿ AWP f¨ur die homogene DGL eindeutig l¨osbar.

Spezielle Anfangswerte setzen:

• x0 fest;y0-Tupel: (1,0, . . . ,0) =⇒ y(x0) = 1;y^′(x0) =. . .=y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 0 Lsg. seiv1(x).

• x0 fest;y0-Tupel: (0,1, . . . ,0) =⇒ y^′(x0) = 1 Lsg. seiv2(x).

...

• x0 fest;y0-Tupel: (0,0, . . . ,1) =⇒ y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 1 Lsg. seiv_n(x).

Dann ist die allgemeine (eindeutig bestimmte) Lsg. des AWP f¨ur die homogene DGL dar- stellbar als

y(x) =y0·v1(x) +y^′₀·v2(x) +· · ·+y⁽ⁿ⁻¹⁾₀ ·vn(x) Inhomogene DGL

[ . . . ] Fehlt!

Definition 2 (Wronski-Determinante)

Die Lsg.en u₁(x), . . . , un(x)der homogenen DGL heißen Fundamentalsystem (Integralbasis) falls

u1(x) · · · u_n(x) u^′₁(x) · · · u^′_n(x)

... . .. ... u⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (x) · · · u⁽ⁿ⁻¹⁾n (x)

=W(u1. . . un)(x)6= 0 ∀x∈[a, b]

gilt.W(u1. . . u_n)(x)heißt Wronski-Determinante.

Bemerkung:W(u1. . . u_n)(x)6= 0 genau dann wennu1(x), . . . , un(x) linear unabh¨angig sind.

Satz 1 Es seien p0(x);. . .;pn−1 stetig auf[a, b]. Die homogene DGL besitzt dann stets ein Fun- damentalsystem, dass aus n Funktionen besteht.

Istu1(x)· · ·u_n(x)ein solches FS, so ist jede Lsg. der homogene DGL darstellbar als y_h(x) =c1u1(x) +· · ·+c_nu_n(x)

mit geeigneten (eindeutig bestimmten) reellen Zahlen c1. . . c_n.

Bemerkung:n+ 1 Lsg.en der homogenen DGL (n-ter Ordnung) sind stets linear abh¨angig . Variation der Konstanten

Bei gegebenem FS kann eine partikul¨are Lsg. einer inhomogenen DGL wie folgt bestimmt werden:

Ansatz:

yp(x) := c1(x)u1(x) +· · ·+cn(x)un(x)

y_p^′(x) := c^′₁(x)u1(x) +c1(x)u^′₁(x) +· · ·+c^′_n(x)un(x) +c_n(x)u^′_n(x) y^′′_p(x) := c^′₁(x)u^′₁(x) +c1(x)u^′′₁(x) +· · ·+c^′_n(x)u^′_n(x) +cn(x)u^′′_n(x)

...

y_p⁽ⁿ⁾(x) := c^′₁(x)u⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (x) +c1(x)u⁽ⁿ⁾₁ (x) +· · ·+c^′_n(x)u⁽ⁿ⁻¹⁾_n (x) +c_n(x)u⁽ⁿ⁾_n (x) Bedingung:

Unterstrichene Terme fallen weg, da sie homogene Lsg. der DGL sind:

c^′₁(x)u1(x) +· · ·+c^′_n(x)un(x) = 0 c^′₁(x)u^′₁(x) +· · ·+c^′_n(x)u^′_n(x) = 0

... c^′₁(x)u⁽ⁿ⁻²⁾₁ (x) +· · ·+c^′_n(x)u⁽ⁿ⁻²⁾_n (x) = 0 c^′₁(x)u⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (x) +· · ·+c^′_n(x)u⁽ⁿ⁻¹⁾_n (x) = q(x) Vorgehensweise:

Die unbekannten Funktionen sindc^′₁(x), . . . , c^′_n(x). Geben ist:

W(u1. . . u_n)(x)6= 0 ∀x∈[a, b]

֒→Gleichungssystem f¨ur alle x eindeutig l¨osbar

→c^′₁(x), . . . , c^′_n(x) ausrechnen

→Integrieren

→In den Ansatz einsetzen.

Cramer’sche Regel

(Bsp.: Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten)

a11·x1+a12·x2 = b1 | ·a22

a21·x1+a22·x2 = b2 | ·a12

(a11a₂₂−a₂₁a₁₂)x1 = b₁a₂₂−b₂a₁₂

x1= det

b₁ a₁₂ b2 a22

det

a₁₁ a₁₂ a21 a22

Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten L y

|{z}

LinearerOperator

:= y⁽ⁿ⁾+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+a₁y^′+a₀y a_j ∈R

Vorgehensweise:

Konstruktion eines Fundamentalsystems −→ W(u1. . . un)(x)6= 0 Ansatz: y(x) =e^λx

L y =⇒ L[e^λx] =P(λ)·e^λx mit dem charakteristischen Polynom

P(λ) =λⁿ+an−1λⁿ⁻¹+. . .+λa1+a0

L[e^λx] ist genau dann Null, wennp(λ) gleich Null ist, d.h.e^λxist Lsg. der homogenen DGL. (Man siehe additiv den

”Fundamentalsatz der Algebra“.) Spezialfall (n=2)

y^′′+a1y^′+a0y= 0 F¨ur das charakteristisch Polynom folgt dann:

P(λ) =λ²+a1λ+a0 ⇒ λ1,2=−a1

2 ± ra²₁

4 −a0

• 1.Fall:

a²₁

4 −a0>0 λ16=λ2∈R

u1(x) = e^λ1x Erste Lsg. der homogenen DGL u₂(x) = e^λ2x Zweite Lsg. der homogenen DGL F S: W(u1, u2)(x) =

e^λ1x e^λ2x λ1e^λ1x λ2e^λ2x

= (λ2−λ1)·e^(λ2+λ1)·x6= 0

• 2.Fall:

a²₁

4 −a0= 0 λ1=λ2=−a1

2 doppelte reelle N ullstelle u₁(x) = e^λ1x Lsg. der homogenen DGL

u2(x) = x·e^λ1x V ersuch F S: W(u1, u2)(x) =

e^λ1x x·e^λ1x λ1e^λ1x e^λ1x+λ1x·e^λ1x

=e^2λ1·x6= 0

• 3.Fall:

a²₁

4 −a0<0 λ16=λ2∈C

λ1=a+bi a=−a1

2 λ2=a−bi b=

r

a0−a12

4 v₁(x) := e^λ1x=e^(a+bi)x

v2(x) := e^λ2x=e^(a−bi)x u1(x) := 1

2(v1(x)−v2(x)) Linearkombination u2(x) := 1

2i(v1(x) +v2(x)) von v1(x), v2(x) e^bxi=cos(bx) +i sin(bx) e^−bxi=cos(bx)−i sin(bx)

→Addition→Imagin¨arteil entf¨allt

=⇒ u1(x) :=e^axcos(bx)

=⇒ u2(x) :=e^axsin(bx)

F S: W(u1, u2)(x) =

e^axcos(bx) e^axsin(bx)

a e^axcos(bx)−b e^axsin(bx) a e^axsin(bx) +b e^axcos(bx)

= e^2a·x6= 0 Allgemeines n

Spezialfallλ1 . . . λn seien n paarweise / verschiedene / reelle Nullstellen.

u_k(x) = e^λkx k= 1 . . . n

W(e^λ1x, . . . , e^λnx)(x) =

1 1 1 1 1

λ₁ λ₂ λ₃ λ₄ λ₅

λ12

λ22

λ32

λ42

λ52

... ... ... ... ... λ1n−1

λ2n−1

λ3n−1

λ4n−1

λ5n−1

| {z }

V andermond^′scheDeterminante

·e^{(λ1+···+λn)x}

= Y

n≥k>l≥1

(λk−λl)·e^{(λ1+···+λn)x}

Satz 2 Es sei p(λ) das charakteristische Polynom von L y mit den reellen Nullstellen λ1. . . λi

und den konjungiert komplexen Nullstellen z1(=a1+b1i), . . . , zn.

Dann sind die folgenden Ausdr¨ucke L¨osungen der homogenen DGL und bilden ein Fundamental- system:

Mit reellen Nullstellenλ_i von p(λ)mit der Vielfachheit l_i: e^λ1x, x·e^λ1x, . . . , x^l1−1·e^λ1x, . . .

e^λix, x·e^λix, . . . , x^li−1·e^λix

Mit konjungiert komplexen Nullstellenzn =an+bnxvonp(λ)mit der Vielfachheit mn: e^a1x·cos(b1x), e^a1x·sin(b1x), . . . , x^m1−1·e^a1x·cos(b1x), x^m1−1·e^a1x·sin(b1x), . . .

e^anx·cos(bnx), e^anx·sin(bnx), . . . , x^mn−1·e^anx·cos(bnx), x^mn−1·e^anx·sin(bnx) Ansatzverfahren f¨ur spezielle L¨osungen linearer inhomogener DGL mit konstanten Koeffizienten

y⁽ⁿ⁾+an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+a1y^′+a0y=q(x)

Definition 3 Eine DGL der Form

xⁿy⁽ⁿ⁾+xⁿ⁻¹an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+xa1y^′+a0y=q(x) heißt Euler’sche DGL.

Bestimmung eines Fundamentalsystems:

• Erster Weg:

Ansatz: y(x) = x^λ x >0 0 = q(λ)·x^λ

−→Nullstellen vonq(λ) finden

−→Bestimme FS!

• Zweiter Weg:

Substitution: t = lnx x >0 y(x) = z(lnx) y^′(x) = z(ln˙ x)· 1

x y^′′(x) = z(ln˙ x)· − 1

x² + ¨z(lnx)· 1 x· 1

x

−→F¨uhrt zu einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten f¨urz(t)

−→L¨osen und Zur¨ucksubstituieren!

Satz 3 (Reduktion der Ordnung einer homogenen linearen DGL)

y⁽ⁿ⁾+pn−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+p1(x)y^′+p0(x)y= 0 Es sei u1(x)eine Lsg. der oberen DGL auf [a, b]mitu1(x)6= 0 auf[a, b].

Der Ansatzy(x) =u1(x)·z(x)f¨uhrt dann auf eine lineare DGL f¨urz(x) z⁽ⁿ⁾+an−1(x)z⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+a1(x)z^′ = 0 die durch w=z^′(x)in eine lineare DGL(n−1)-ter Ordnung berf¨uhrt wird.

Sei v1(x), . . . , vn−1(x) ein Fundamentalsystem dieser DGL, so bilden die Fkt.en u1(x), u1(x)R

v1(x)dx, . . . , u1(x)R

vn−1(x)dxein FS der Ausgangsgleichung.

Satz 4 (Potenzreihenans¨atze)

y^′′+p₁(x)y^′+p₀y= 0

AW P : y(x0) =y0; y^′(x0) =y₀^′

Es seien p1(x) undp0(x) in derδ-Umgebung von x0 in eine Potenzreihe entwickelbar.

Dann gilt das auch f¨ur die Lsg. der homogenen DGL zweiter Ordnung und die eindeutig bestimmte Lsg. des AWP.

Ansatz: y(x) = X∞

k=0

c_kx^k Hermitesches Polynom

H_n(x) = (−1)ⁿe^x2 dⁿ dxⁿ(e^−x2) Hermitesche Funktionen

Ψn(x) := 1 p2ⁿn!√

π e^−12x2Hn(x) Z∞

−∞

Ψm(x)Ψn(x)dx=

0 n6=m

1 n=m

Legendresche DGL

(1−x²)f^′′−2x f^′+n(n+ 1)f = 0 n∈N₀,

→Potenzreihe umx0= 0 mit Konvergenz 1:

2x 1−x² = 2x

X∞

j=0

(x²)^j = X∞

j=0

2x^2j+1 |x|<1

֒→Potenzreihenansatz m¨oglich:

y(x) =c0u^(g)(x) +c1u^(u)(x) u^(g), u^(u)??? − P otenzreihen

F¨ur spezielle Werte vonn∈N₀wird eine der beiden Potenzreihen abbrechen⇒Polynom.

Darstellungsformel:

Pn(x) = 1 2ⁿn!· dⁿ

dxⁿ

(x²−1)ⁿ Z1

−1

Pn(x)Pm(x)dx =

0 m6=n

2

2n+1 m=n

Reduzierbare Typen nichtliniearer DGLen zweiter Ordnung Allgemeine, explizite Form:y^′′=f(x, y, y^′)

Spezielle Form vony^′′ Ansatz / Vorgehensweise y^′′ = f(x) Zweifache Integration

y^′′ = f(y^′) Substitution mitz=y^′(x) =⇒ z^′ =f(z)

y^′′ = f(y) Multiplikation mit 2y^′ =⇒DGL mit trennbaren Variablen y^′′ = f(x, y^′) Substitution mitz=y^′(x)

y^′′ = f(y, y^′) Substitution mitp=y^′(x(y)) =⇒ ^dpdy(y) = ^y′′_p(y)^(x(y)) DGL nachpl¨osen!

Gesamtlsg. implizit gegeben durchR dy

p(y) =x+c y^′′ = f(x, y) Keine allgemeinen Regeln, nur Spezialf¨alle!!

Spezialfall 1:y^′′=g(x)·y Spezialfall 2:y^′′=h(x,^y_y^′)·y

=⇒Substitution mitv:= ^y_y^′

=⇒ v^′=h(x, v)−v² DGL erster Ordnung

4 Rand- und Eigenwertprobleme

Satz 1 Es seien u₁, u₂ zwei linear unabh¨angige Lsg.en der DGL L y= 0.

Das Randwertproblem

(L y)(x) =q(x), (R1y) =u₁, (R2y) =u₂ ist genau dann eindeutig l¨osbar wenn gilt:

R1u1 R1u2

R2u1 R2u2

6

= 0

Satz 2 (Seperationssatz)

u(x, t) = X(x)T(t)

⇒ 0 = a²X^′′(x)T(t)−X(x) ¨T(t) X^′′(x)

X(x) = T¨(t)

a²T(t) =−λ → unbekannte Konstante X^′′+λ X = 0

T¨+a²λ T = 0 X(0)T(t) = 0

X(l)T(t) = 0 −→ Randwertproblem!

Eigentwertprobleme(Sturm-Lionvill’sche EW-Aufgabe) Eine DGL der Form

y^′′+p1(x)y^′+p0(x)y= 0 p1, p0 stetig auf [a, b]

kann durch Multiplikation mitp(x) =e^Rp1(x)dx stets in die Form L y= (p(x)y^′)^′+q(x)y= 0

mitq(x) :=p(x)·p0(x) ¨uberf¨uhrt werden.

=⇒Eigenwertproblem - Gesucht sind dieλf¨ur die nicht-trivialen Lsg.en des Problems existieren:

Analysis Alternative Schreibweise Analogie Algebra

L y+R y= 0 L y+λ r(x)y= 0 A ~x−λ ~x= 0

Da Ly= 0muss f olgen R_iy= 0 bzw. λ r(x) = 0 mit r(x)>0 det(A−λ E) = 0 Da der Operator L symmetrisch ist, k¨onnen folgende Eigenschaften vereinbart werden:

• Alle Eigenwerte sind reell, somit existieren stets reelle Eigenfunktionen

• Eigenwerte sind einfach (?)

• Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten sind zueinander orthogonal (hu, vi= 0) Lineare DGL-Systeme erster Ordnung

y₁^′ = a11y1 + a12y2 +· · · +a1ny_n + Q1(x) y₂^′ = a21y1 + a22y2 +· · · +a2nyn + Q2(x)

...

y^′_n = an1y1 +an2y2 +· · · +a_nny_n + Q_n(x) Rechenweg:

1. Eigenwerte und Eigenvektoren der KoeffizientenmatrixK=









a11 · · · a1n

..

. . .. . .. an1 · · · ann









berechnen.

2. Fundamentalsystem aus den Eigenvektoren erstellen: ui=

EV(λ) e^λx.

Bei einer Vielfachheit m des Eigenwertes sind folgende Ausdr¨ucke in die DGL einzusetzen und die Koeffizienten zu ermitteln:

ui+1=





 ax+b

... αx+β







e^λx; ui+2=







ax²+bx+c ... αx²+βx+γ







e^λx; . . .; u_i+(m−1)=









m−1P

k=0

akx^k ...

m−1P

k=0

αkx^k







 e^λx

3. Homogene L¨osung:yhom=c1~u1(x) +· · ·+cn~un

4. Inhomogene L¨osung:

(a) Variation der Konstanten mit dem Ansatzy_p=~c1(x)~u1(x) +· · ·+~cn(x)~u_n →In das DGL-System einsetzen!

(b) Ansatzverfahren zur entsprechenden Inhomogenit¨atQ_i(x) (Spezialans¨atze)

Beachte: F¨ur den Fall ”k-facher Nullstellen“ ist im Ansatz der Grad des Polynoms um k zu erh¨ohen und nicht nur mitx^k zu multiplizieren!