Definition. Eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung ist eine Glei- chung zwischen einer unabh¨ angigen Variablen x , einer Funktion y(x) und deren Ableitungen y

24. Gew¨ ohnliche

Differentialgleichungen

Definition. Eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung ist eine Glei- chung zwischen einer unabh¨ angigen Variablen x , einer Funktion y(x) und deren Ableitungen y

(x) , y

(x) , . . . , y

(x)

F (x, y, y

, . . . , y

) = 0

Der Grad der h¨ ochsten vorkommenden Ableitung ist die Ordnung der Differentialgleichung.

Eine L¨ osung einer Differentialgleichung ist eine (gen¨ ugend oft differenzier- bare) Funktion, welche die Dgl. identisch erf¨ ullt.

Beispiel. xy

+ (y

)

(y

− 1) + sin x = 0 ist eine Dgl. 3. Ordnung.

y = sin x ist eine L¨ osung der Dgl. y

+ y = 0 , weil f¨ ur alle x gilt dass (sin x)

+ sin x = 0 .

Bemerkung. Treten mehrere unabh¨ angige Variablen x

, x

, . . . , x

, eine Funktion y(x

, x

, . . . , x

) und deren partielle Ableitungen, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung (siehe Mathematik 2).

Beispiel. Wir wollen die Frequenz eines Federpendels berechnen, wobei eine Masse m an eine Spiralfeder aufgeh¨ angt ist.

Die Federkonstante wird mit c bezeichnet, die Zeit mit t und die

Auslenkung aus der Ruhelage mit x(t) .

Dann ist v = ˙ x(t) =

die Geschwindigkeit, und b =

=

= ¨ x(t) die Beschleunigung.

F¨ ur die Bestimmung der Frequenz verwenden wir die aus der Physik bekann- ten, die Kraft F betreffenden Gesetze nach Hook und Newton

F = − c · x (Hook) , F = m · b (Newton) Wir erhalten m · x ¨ = − c · x bzw. m · x ¨ + c · x = 0 . Die allgemeine L¨ osung dieser Dgl. (zweiter Ordnung) ist

x(t) = C

sin(ω(t + C

)) ,

wobei C

, C

∈ R beliebige reelle Konstante sind und ω

=

. Mit ω = 2πν ergibt sich ν =

√

m

. Dabei ist ν die Frequenz und ω die Kreisfrequenz.

Durch Einsetzen in die Dgl. kann man sich leicht von der Richtigkeit der L¨ osung ¨ uberzeugen.

Beispiel. Gesucht ist jene Kurve y = y(x) , f¨ ur die die Tangentenl¨ ange in einem Punkt P der Kurve stets gleich der L¨ ange der Strecke OP ist.

l = √

x

+ y

, sin φ =

( ⇒ y = l sin φ) , tan φ = y

(x) sin φ =

sinφ cosφ 1 cosφ

=

sin2φ+cos2φ cos2φ

= √

tan²φ+1

= √

y^′2+1

Damit ist y = l √

y^′2+1

= √

x

+ y

√

y^′2+1

bzw.

y √

y

+ 1 = y

√

x

+ y

. Quadrieren liefert nun

y

(y

+ 1) = y

(x

+ y

) bzw. y

= x

y

Daraus folgt y

=

bzw. y

= ±

.

• Die L¨ osung der Dgl. y

=

ist y = Cx mit C ∈ R . Dies ist eine Geradenschar durch den Ursprung.

• Die L¨ osung der Dgl. y

= −

ist y =

mit C ∈ R . Dies ist eine Hyperbelschar.

Die wichtigste Frage ist nat¨ urlich, wie bei einer vorgelegten Dgl. eine entsprechende L¨ osung gefunden werden kann.

• F¨ ur gewisse Typen von Dgln. gibt es L¨ osungsverfahren, die in der Literatur gefunden werden k¨ onnen oder in Computeralgebrasystemen (wie Maple oder Mathematica) implementiert sind.

• Weiters k¨ onnen numerische Methoden verwendet werden.

• Zu den analytischen N¨ aherungsmethoden geh¨ oren u.a. die Rei- henentwicklung und die sukzessive Approximation.

Die allgemeine L¨ osung einer Dgl. 1. Ordnung enth¨ alt eine beliebige Konstante C . Dies entspricht geometrisch einer Kurvenschar mit dem Scharparameter C .

W¨ ahlt man f¨ ur C einen speziellen Wert, dann erh¨ alt man eine spezielle L¨ osungskurve.

Definition. Ein Anfangswertproblem (AWP) ist eine Problemstel- lung, die aus folgenden beiden Bedingungen besteht:

Differentialgleichung (Dgl.) : y

= f (x, y) Anfangsbedingung (AB) : y(x

) = y

Gesucht sind also L¨ osungen, die durch den Punkt (x

, y

) gehen.

Wir diskutieren nun elementare einfache Typen von Differentialgleichun-

gen.

1) y

= f (x)

Die allgemeine L¨ osung ist offenbar y(x) = ∫

f (x)dx + C , C ∈ R

2) Dgl. mit getrennten Variablen: y

=

Sei F (x) eine Stammfunktion von f (x) und G(y) eine Stammfunktion von g(y) .

Dann ist G(y) = F (x) + C , C ∈ R die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung.

(Differenzieren nach x liefert

G

(y) · y

= F

(x) ⇒ g(y) · y

= f (x) bzw. y

=

) Formal kann geschrieben werden

y

=

=

⇒ g(y)dy = f (x)dx ⇒ ∫

g(y)dy = ∫

f (x)dx + C

3) Lineare Dgl. 1. Ordnung y

+ f (x) · y = g(x)

Bemerkung. y und y

treten nur in erster Potenz auf. Die Funktion g wird oft auch als St¨ orfunktion bezeichnet.

Die obige Dgl. wird auch als inhomogene Dgl. bezeichnet. Die zugeh¨ orige homogene Dgl. ist y

+ f (x) · y = 0 .

Wir behandeln zuerst die homogene Dgl. y

+ f (x) · y = 0 . Dies ist eine Dgl. mit getrennten Variablen.

Offenbar ist y ≡ 0 eine L¨ osung. F¨ ur y ̸ = 0 gilt

dy

dx

= − f (x)y ⇒

= − f (x)dx ⇒ ∫

y

= − ∫

f (x)dx + C ⇒

⇒ ln | y | = − ∫

f (x)dx + C ⇒ | y | = e

· e

⇒

⇒ y = ± e

· e

Durchl¨ auft C alle reellen Zahlen, dann durchl¨ auft e

alle positiven reellen Zahlen, und ± e

alle reellen Zahlen ̸ = 0 . Weil auch y = 0 L¨ osung ist, k¨ onnen wir die allgemeine L¨ osung in der Form

y(x) = K · e

, K ∈ R anschreiben.

Satz. Die allgemeine L¨ osung der inhomogenen Dgl. y

+ f (x) · y = g(x) setzt sich zusammen aus der allgemeinen L¨ osung y

(x) der zugeh¨ origen homogenen Dgl. und einer speziellen L¨ osung (partikul¨ aren L¨ osung) y

(x) der inhomogenen Dgl., also

y(x) = y

(x) + y

(x)

Die Bestimmung einer speziellen L¨ osung der inhomogenen Dgl. kann durch

”Erraten”, mittels eines geeigneten Ansatzes oder mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten erfolgen.

Wir betrachten dabei die allgemeine L¨ osung y

(x) = K · e

der zugeh¨ origen homogenen Dgl. und setzen y

(x) = e

∫ f(x)dx

. Dann ist y

(x) = y

(x) · ( − f (x)) .

Nun treffen wir den Ansatz

y

(x) = K(x) · y

(x) ⇒ y

= K

· y

+ K · y

Eingesetzt in die (inhomogene) Dgl. erhalten wir

K

· y

+ K · y

+ f · K · y

= g ⇒ K

· y

= g ⇒

⇒ K

=

1

⇒ K(x) = ∫

y1(x)

dx

Mit dieser Funktion K (x) ist y

(x) gefunden und es ist

y(x) = y

(x) + y

(x) .