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inf{dist(x, A), x∈K}= inf{d(x, y) :x∈K, y ∈A}, vgl

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Mathematisches Institut WS 2016/2017

der Heinrich-Heine Universit¨at 02.12.2016

D¨usseldorf Blatt 7

Dr. Axel Gr¨unrock

UBUNGEN ZUR ANALYSIS II¨

25. Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Der Abstand zweier nichtleerer Teilmengen K ⊂X und A⊂X ist definiert durch:

dist(K, A) := inf{dist(x, A), x∈K}= inf{d(x, y) :x∈K, y ∈A}, vgl. Aufgabe 15.

Zeigen Sie:

(a) Ist A abgeschlossen,K kompakt undA∩K =∅, so gilt dist(K, A)>0.

(b) Die Aussage in Teil (a) wird im Allgemeinen falsch, wenn von K lediglich die Abgeschlossenheit (anstelle der Kompaktheit) vorausgesetzt wird.

26. F¨ur zwei Teilmengen A und B von Rn sei

A+B :={a+b:a∈A, b∈B}.

(a) Zeigen Sie: SindA und B kompakt, so ist auch A+B kompakt.

(b) Geben Sie ein Beispiel zweier abgeschlossener MengenA, B ⊂Rn an, f¨ur dieA+B nicht abgeschlossen ist.

27. F¨ur ein partiell differenzierbares VektorfeldF = (F1, . . . , Fn) :Rn⊃Ω→Rn heißt divF :=

n

X

i=1

∂Fi

∂xi

die Divergenz von F. F¨ur ein solches Feld F und eine partiell differenzierbare Funktion φ:Rn ⊃Ω→R zeige man:

div (φF) =hgradφ,Fi+φdiv F.

Als Anwendung berechne man die Divergenz von

G:R3\ {0} →R3, x7→ cos (k|x|)−1

|x|3 ·x (hierbei sei k ∈R fest).

Bitte wenden!

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28. Die Funktionf :R2 →Rsei definiert durch f(x, y) :=

xyxx22−y+y22 : (x, y)6= (0,0) 0 : x=y= 0

Man zeige, dassf ¨uberall zweimal partiell differenzierbar ist, dass aber

∂x

∂yf(0,0)6= ∂

∂y

∂xf(0,0).

Ist f im Nullpunkt stetig?

Abgabe: Fr., 09.12.2016, 10.25 Uhr

Besprechung: Mi., 14.12.2016 und Do., 15.12.2016

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