Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnungy

Beuth Hochschule für Technik Berlin Prof. Dr. Schwenk

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

y'+f(x)y = 0 y_H(x)=ce^-F(x) mit F '(x) = f(x)

y'+f(x)y = g(x) y_I(x) = y_H(x)+y_P(x)

y_I(x) =

Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y"+ay'+by = g(x)

1.Schritt: allgemeine homogene Lösung (y"+ay'+by = 0):

Ansatz: y_H(x) = e ^x führt zu e ^x( ²+a +b) = 0 charakteristische Gleichung: ²+a +b = 0 . 1. Fall: zwei einfache reelle Lösungen _{1 2}

y₁(x)= , y₂(x)=

2. Fall: nur eine doppelte reelle Lösung ₁= ₂= y₁(x)=e ^x , y₂(x)=xe ^x y_H(x) = (c₁+c₂x)e ^x

3. Fall: zwei konjugiert komplexe Lösungen _1,2=u±jv y₁(x)=e^uxsin(vx) , y₂(x)=e^uxcos(vx) y_H(x) = e^ux(c₁sin(vx)+c₂cos(vx)) 2. Schritt: spezielle inhomogene Lösung

Ansatz für y_P nach der Tabelle oder

Methode Variation der Konstanten:

Ansatz: y_P(x) = c₁(x)y₁(x)+c₂(x)y₂(x) führt zu

dabei ist

die Wronskideterminante.

3. Schritt: allgemeine inhomogene Lösung:

y_I(x) = y_H(x)+y_P(x)

Beuth Hochschule für Technik Berlin Prof. Dr. Schwenk

Ansätze für die spezielle inhomogene Lösung bei bestimmten Störfunktionen g(x)

Störfunktion g(x) Ansatz y_p(x)

Polynom n-ten Grades g(x) = P_n(x)

0 nicht Lsg d.char.Gl:

y_p(x) = Q_n(x) =0 einf. Lsg d.char.Gl:

y_p(x) = xQ_n(x) =0 dopp. Lsg d.char.Gl:

y_p(x) = x²Q_n(x)

Q_n(x) ist Polynom n-ten Grades mit allgemeinen Koeffizienten

Exponentialfunktion g(x) = P_n(x)e^dx

d nicht Lsg d.char.Gl:

y_p(x) = Q_n(x)e^dx =d einf. Lsg d.char.Gl:

y_p(x) = xQ_n(x)e^dx =d dopp. Lsg d.char.Gl:

y_p(x) = x²Q_n(x)e^dx

Q_n(x) ist Polynom n-ten Grades mit allgemeinen Koeffizienten

Trigonometrische Funktionen g(x) = asin( x)

g(x) = acos( x)

g(x) = asin( x)+bcos( x)

j nicht Lsg d. char. Gl:

y_p(x) = Asin( x)+Bcos( x) =j Lösung d. char. Gl:

y_p(x) = x(Asin( x)+Bcos( x)) g(x) = P_n(x)e^dxsin( x)

g(x) = P_n(x)e^dxcos( x)

wobei P_n(x) Polynom n-ten Grades ist.

d+j nicht Lsg d.char.Gl.:

y_p(x) = e^dx[Q_n(x)sin( x)+R_n(x)cos( x)]

=d+j Lösung d.char.Gl.:

y_p(x) = xe^dx[Q_n(x)sin( x)+R_n(x)cos( x)]

Q_n(x), R_n(x) sind Polynome n-ten Grades mit allge- meinen Koeffizienten.