Erwartungswert,Varianz&Momente ¨Ubungsblatt9 WahrscheinlichkeitstheorieI ¨UbungenzurVorlesung

L¨ohr/Winter Sommersemester 2014

Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I

Ubungsblatt 9¨

Erwartungswert, Varianz & Momente

Alle Zufallsvariablen seien auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) definiert.

Aufgabe 9.1 (Transformationssatz). (4 Punkte)

Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraumn und X: Ω → E eine Zufallsvariable mit Werten in einem messbaren Raum (E,E). Zeige: F¨ur jede messbare Funktion f:E → R ist f ◦X genau dann integrierbar, wenn f bez¨uglichPX integrierbar ist, und in diesem Falle gilt

Z

Ω

f ◦XdP = Z

E

f dPX.

Aufgabe 9.2 (Dominierte Konvergenz). (4 Punkte)

Sei (Xn)_n∈N eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen mit Xn → X fast sicher (f.s.) f¨ur eine Zufallsvariable X. Zeige den Satz von der dominierten Konvergenz: Falls eine integrierbare Majorante, also eine integrierbare ZufallsvariableY mit|Xn| ≤Y f.s. f¨ur allen∈N, existiert, so istX integrierbar und es gilt

E(X) = lim

n→∞E(Xn).

Aufgabe 9.3 (2. Wald’sche Identit¨at). (4 Punkte) SeienX_n,n∈N, unabh¨angig, identisch verteilte, quadratintegrierbare Zufallsvariablen,T eine N₀ :=N∪ {0}wertige, quadratintegrierbare Zufallsvariable, und T unabh¨ang von (Xn)_n∈N. Setze

Z :=

XT k=1

X_k, also Z(ω) =

TX(ω)

k=1

X_k(ω).

Zeige, dassZ quadratintegrierbar ist, und

Var(Z) = E(T) Var(X₁) + Var(T)E(X₁)².

Bitte wenden!

Aufgabe 9.4 (H¨older- und Minkowski-Ungleichung). (4 Punkte) Sei (Ω,A, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum,p, q∈[1,∞] mit ¹_p +¹_q = 1.

(a) Sei f ∈L^p,h∈L^q. Zeige dieH¨older-Ungleichung kf hk₁ ≤ kfk_p· khk_q.

Hinweis: Benutze f¨ur 1< p <∞ die Young’sche Ungleichung:

a·b≤ ^a_p^p +^b_q^q f¨ur a, b≥0.

(b) Sei f, g∈L^p. Zeige dieMinkowski-Ungleichung (Dreiecksungleichung in L^p) kf+gkp ≤ kfkp+kgkp.

Hinweis: Benutze die H¨older-Ungleichung mit h=|f +g|^p−1.

Abgabe bis Di, 24.06. am Anfang der ¨Ubungsstunde

Arbeitsgruppenvortr¨age:

Am 17.06.gibt Vladimir Panov (Higher School of Economics, Moscow) einen Vortrag ¨uber Maximal deviation distribution for projection estimates of L´evy densities

Abstract:This talk is devoted to projection estimates for L´evy densities in both high and low frequency setup. After a short introduction to the theory of statistical inference for L´evy processes, I will present new results concerning the convergence rates of the projection estimates. These results are based on some fresh ideas, which allow to reformulate the problem in terms of Gaussian processes.

Am24.06.findet keinVortrag statt.

Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-4.01