L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 7¨
Test ¨ uber den Stoff der ¨ Ubungsbl¨ atter 1–6
Bearbeitungszeit: 45min.
Maximalpunktzahl: 18. Hilfsmittel: keine (ausser Papier und Stift).
Der Test wird nicht bewertet, sondern dient einzig der Selbstkontrolle. Die Aufgaben sollten von der selben Art und dem selben Schwierigkeitsgrad sein, wie die Klausuraufgaben zu diesem Teil des Stoffes. Sie werden in der zweiten H¨alfte der ¨Ubung besprochen.
Aufgabe 7.1. (4 Punkte)
(a) Seien (Ω,A), (Ω′,A′) messbare R¨aume. Definiere, wann eine Funktionf: Ω→Ω′ mess- bar ist.
(b) Sei (X, d) ein metrischer Raum, xn∈X f¨ur n∈N, und f:X→Rgegeben durch f(x) := inf
n∈Nd(x, xn), x∈X Zeige, dass f Borel-messbar ist.
Aufgabe 7.2. (3 Punkte)
Seien P, Q Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem Messraum (Ω,A), und E ⊆ A eine Algebra mitσ(E) =A. Ferner sei P(E)≤Q(E) f¨ur alleE∈ E. Zeige, dass P =Q.
Aufgabe 7.3. (6 Punkte)
SeiA:={B ∈ B(R)|x∈B ⇒ −x∈B} und f:R→R. (a) Zeige, dassA eineσ-Algebra ist.
(b) Zeige oder widerlege: Ist f Borel-messbar (also B(R)-B(R)-messbar), so ist f immer auch B(R)-A-messbar.
(c) Zeige: f ist genau dannA-B(R)-messbar, wenn f Borel-messbar ist und f(x) =f(−x) f¨ur allex∈R.
Bitte wenden!
Aufgabe 7.4. (5 Punkte) (a) Formuliere das Lemma von Borel-Cantelli mit den exakten Voraussetzungen (beide
Richtungen).
(b) Eine M¨unze mit Werten in{K, Z}und Wahrscheinlichkeit 23 f¨urK werde unendlich oft unabh¨angig geworfen. Sei Xn das Resultat desn-ten Wurfs und
An = {Xn+1=Xn+2=· · ·=X2n =K}, n∈N,
das Ereignis, dass nach demn-ten Wurf mindestensn-mal in FolgeKkommt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dies f¨ur unendlich viele npassiert.
Viel Erfolg!
