L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 0¨
Grundlagen: Topologie
Seien X, Y nichtleere Mengen. Zur Erinnerung:
Eine Topologie aufX ist eine Mengeτ von Teilmengen von X mit
1. ∅, X ∈τ 2. U, V ∈τ ⇒ U ∩V ∈τ 3. Ui ∈τ ⇒ [
i∈I
Ui ∈τ,
wobeiI eine beliebige (also potentiell ¨uberabz¨ahlbare) Indexmenge ist. Eine Menge U ⊆X heißt offen, fallsU ∈τ. Eine Folge (xn)n∈N inX konvergiertgegen x∈X (bzgl. τ) falls
∀U ∈τ mitx∈U :xn∈U f¨ur alle bis auf endlich viele n∈N.
X heißt Hausdorffsch, falls Punkte durch offene Mengen getrennt werden k¨onnen, also
∀x, y∈X∃U, V ∈τ :x∈U, y∈V, U ∩V =∅.
Ist d eine Metrik auf X, so bezeichne τd die Menge der bez¨uglich d offenen Mengen. τd
heißt vondinduzierte oder erzeugte Topologie (und ist tats¨achlich eine Topologie). Metrische R¨aume werden immer auch als topologische R¨aume mit der induzierten Topologie verstanden.
Ein metrischer Raum (X, d) ist vollst¨andig, falls jede Cauchy Folge konvergiert. Dabei ist (xn)n∈N eine Cauchy Folge, falls
∀ε >0∃N ∈N:d(xn, xm)< ε∀n, m > N.
Aufgabe 0.1 (Metrik versus Topologie).
(a) Zeige: F¨ur Metriken d, r auf X mitd(x, y)< r(x, y) f¨ur alle x, y∈X giltτd⊆τr. (b) Seien d, r Metriken auf X. Zeige: Gibt es Konstanten c, C >0 mit
c·d(x, y) ≥ r(x, y) ≥ C·d(x, y), so induzieren dundr dieselbe Topologie.
(c#) Sei X = ]0,1] und xn = n1. Bez¨uglich der normalen (Euklidischen) Metrik ist (xn)n∈N
eine Cauchy Folge, die nicht konvergiert. Insbesondere istXdann nicht vollst¨andig. Gib nun eine andere Metrik d auf X mit der folgenden Eigenschaft an: d erzeugt dieselbe Topologie, wie die Euklidische Metrik, (xn) ist keine Cauchy Folge bez¨uglich d, und (X, d) ist vollst¨andig.
Ein topologischer Raum (X, τ) heißtkompakt, wenn jede offene ¨Uberdeckung eine endliche Teil¨uberdeckung besitzt, also
U ⊆τ, X = [
U∈U
U ⇒ ∃n∈N, U1, . . . , Un∈ U :X =U1∪ · · · ∪Un.
Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Im allgemeinen topologischen Raum gilt diese ¨Aquivalenz nicht.
Bitte wenden!
Aufgabe 0.2 (Kompaktheit).
(a) Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Zeige: (X, d) ist separabel (es gibt eine abz¨ahlbare, dichte Teilmenge).
(b) Sei (X, d) kompakter metrischer Raum. Zeige: (X, d) ist vollst¨andig.
Hinweis: Verwende die Charakterisierung durch konvergente Teilfolgen.
(c) Finde einen vollst¨andigen, separablen metrischen Raum, der nicht kompakt ist.
Ein polnischer Raum (X, τ) ist ein vollst¨andig metrisierbarer, separabler topologischer Raum. Es existiert also eine abz¨ahlbare, dichte Teilmenge und eine Metrikd, so dass (X, d) vollst¨andig ist und τ =τd.
Aufgabe 0.3 (Polnische R¨aume).
(a) Zeige, dassN(mit der Euklidischen Topologie) polnisch ist.
(b) Sein∈N. Zeige, dassRn (nat¨urlich mit der Euklidischen Topologie versehen) polnisch ist.
(c) Sei ddis die diskrete Metrik auf R(ddis(x, y) = 1 f¨ur x6=y). Zeige, dass (R, τddis) nicht polnisch ist.
(d#) Zeige, dass das offene Intervall ]0,1[ (mit Euklidischer Topologie) polnisch ist.
Pr¨asenz¨ubung: das Blatt wird in der ¨Ubung besprochen, soll jedoch nicht abgegeben werden Mit #markierte Aufgabenteile sind etwas schwerer
Keine Panik!