01. April 2014
PD Dr. H. Kohler
Statistische Mechanik — Pr¨ asenz¨ ubung 1
P1. Differentialformen
untersuchen Sie ob folgende 1-Formen exakt sind ω1 = cosxsinydx+ sinxcosydy
ω2 = ydx
x2+y2 − xdy x2+y2 ω3 = x2y2dx−y2x2dy .
Integrieren Sie ω1 undω2 uber einen Kreis um den Nullpunkt und¨ ω3 ¨uber ein Quadrat mit den Ecken (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). Gibt es auch einen einfacheren Weg die Ex- aktheit zu erkennen? Berechnen Sie in den F¨allen wo sie exisitiert die Zustandsfunktion durch Integration.
P2. Partielle Ableitungen
x, y, z seien Gr¨oßen, die eine Funktionalrelation der Form f(x, y, z) = 0
erf¨ullen. Verifizieren Sie die folgenden Beziehungen:
∂x
∂y
z
= 1
∂y
∂x
z
und
∂x
∂y
z
∂y
∂z
x
∂z
∂x
y
= −1.
P3. Legendre Transformation
Legendretransformieren Sie die beiden Funktionen F1(x) =αx2 F2(x) =α(x+c)2
und betrachten Sie ebenfalls F1(x(u)) und F2(x(u)) f¨ur sich allein. Legendretransfor- mieren Sie die Hamiltonfunktion eines Teilchens im harmonischen Oszillatorpotenzial mit ¨ausserer Kraft
H = p2
2m+ω0m 2 q2+F q
bez¨uglich Impuls p und bez¨uglich Ortq.