PD Dr. H. Kohler, C. Recher
Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — Pr¨ asenz¨ ubung
27.10 2010
P1. Drehimpuls
Der Drehimpuls ist ein VektorL, definiert durch das Vektorprodukt von Ort und Impuls~ L~ = ~x×p ,~ in Komponenten Li = X
jk
ijkxjpk
wobei wir das Kroneckerepsilon benutzt haben, welches antisymmetrisch unter Ver- tauschung zweier benachbarter Indizes ist. Also
123 = 231 = 312 = 1, 132 = 213 = 321 = −1
und ijk = 0 wenn zwei Indizes gleich sind. In der Vorlesung haben wir auch die Hamiltonfunktion f¨ur das Coulombpotential kennengelernt
H(~x, ~p) = p2 2m −e2
r , r= v u u t
3
X
i=1
x2i .
Zeigen Sie, dass alle Komponenten des Drehimpulses Li, i= 1,2,3 Konstante der Be- wegung sind. Leiten Sie hierzu Li nach der Zeit ab und benutzen Sie dann die Hamil- ton’schen Bewegungsgleichungen, um zu zeigen, dass die Ableitung identisch null ist.
P2. Momente von Zufallsvariablen
In der Vorlesung haben Sie verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennengelernt.
Die Momente der Gaußverteilung wurden in der Vorlesung hergeleitet. Berechnen Sie hier dien–ten Momentemn
1. der Gleichverteilung im Intervall [−L/2, L/2]
mn = 1 L
L/2
Z
−L/2
xndx
2. derδ–Verteilung
mn =
∞
Z
−∞
xnδ(x)dx
Interpretieren Sie das Ergebnis. Warum kann man die Momente der Lorentzverteilung nicht berechnen. Es reicht ein qualitatives Argument.
