24. November 2010
PD Dr. H. Kohler, C. Recher
Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — ¨ Ubung 6
Abgabe: 1.12 2010
H 17. Kommutatoren
Der Kommutator zweier Operatoren ˆA und ˆB ist definiert durch [ ˆA,Bˆ] =
AˆBˆ−BˆAˆ
. (1)
Beachten Sie das der Kommutator zweier Operatoren im allgemeinen wieder ein Op- erator ist und daher durch sein Wirkung auf eine Funktion (z.B. ϕ(x)) definiert ist.
Berechenen Sie folgende Kommutatoren 1. [ˆx,p]ˆ
2. [f(ˆx),p]ˆ
3. [ ˆSn,Sˆm] n, m= 1,2,3
wobeif(x) eine differenzierbare Funktion bezeichnet, ˆp=−i~∂x der Impulsoperator ist und die Operatoren ˆSl, l= 1,2,3 durch die Spinmatrizen
Sˆ1 = ~ 2
0 1
1 0
Sˆ2 = ~ 2
0 −i
i 0
Sˆ3 = ~ 2
1 0
0 −1
(2) gegeben sind.
H18. Adjunkation zweier Operatoren Seien ˆA und ˆB zwei Operatoren. Zeigen Sie
hφ
AˆBˆ†
ψi=hφ
Bˆ†Aˆ†
ψi (3)
indem Sie unteranderem die Eigenschaft hφ
C†
ψi=hψ
C
φi∗ (4)
des Skalarprodukts verwenden.
H19. Harmonischen Oszillator
In der Vorlesung haben Sie die Operatoren ˆa (Vernichter) und ˆa† (Erzeuger) f¨ur den harmonischen Oszillator kennengelernt. Verwenden Sie
ˆ
a†|ψni=√
n+ 1|ψn+1i und ˆa|ψni=√
n|ψn−1i (5)
um das Skalarprodukt hψ0
ˆan ˆ a†n
ψ0i n∈N (6)
zu berechnen. Hierbei bezeichnet|ψniden n-ten angeregten Zustand des harmonischen Oszillators.
