22. Dezember 2010
PD Dr. H. Kohler, C. Recher
Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — Probeklausur
Besprechung: 19.01.2011
K1. Ja–Nein Fragen (4P)
Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt.
Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.
richtig falsch Die Wellenfunktion im Impulsraum ist die Fouriertrans-
formierte der Wellenfunktion im Ortsraum.
Die Eigenwerte eines Hermiteschen Operators sind immer reell.
Der Spin eines einzelnen Elektrons ist immer halbzahlig.
Auch das Betragsquadrat von Streuzust¨anden hat eine In- terpretation als Wahrscheinlichkeitsdichte.
K2. Zahlenfragen (2P)
Als Antwort wird nur eine Zahl erwartet. Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen halben Minuspunkt. Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.
Antwort Wie groß ist der Entartungsgrad des dOrbitals (l= 2) des
Wasserstoffatoms (ohne Spin)?
Wieviele Eigenzust¨ande hat der Spinoperator ˆSx
K3. Teilchen im asymmetrischen Kastenpotential (6P)
Ein Teilchen bewege sich in einer Dimension in dem Potential (siehe Skizze)
V(x) =
V1 >0 , x≤ −a , V0 = 0 , −a < x≤a , V2> V1 , x > a ,
mit a >0
V1
V2
−a 0 a x
V(x)
i) Skizzieren Sie den Realteil der Eigenfunktion zur EnergieE f¨ur a) 0< E < V1 (1P) ,
b) V1 < E < V2 (1P) ,
c) E > V2 (1P) .
ii) Wie ist die Struktur des Spektrums in den drei Energiebereichen (3P) ? diskret kontinuierlich beides
E < V1 V1 < E < V2
E > V2
Es gelten die Regeln von Aufgabe K1.
K4. Kommutatoren (4P) Berechnen Sie die Kommutatoren
[ˆx,~pˆ2] (2P) , [ˆp,xˆ2] (2P) ,
wobei ˆxder Ortsoperator und ˆp der Impulsoperator in einer Dimension sind.
K4. Erwartungswerte des harmonischen Oszillators (6P) Gegeben sei der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators Hˆ = pˆ2
2m+mω2 2 xˆ2 .
Der Oszillator befinde sich im Zustand
|ψi= 1
√
3(|ψ3i+|ψ4i+|ψ10i) ,
wobei|ψniEigenzustand des Hamiltonoperators zum Eigenwert~ω(n+1/2) ist. Berech- nen Sie den Erwartunswert von Energie
hψ|H|ψiˆ (2P) , und vom Ort
hψ|ˆx|ψi (2P) .
Wie ist der Ortserwartungswert zum ZeitpunktT =π/ω (2P)?
