Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt.

12. Juli 2008 Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Klausur 2

K8. Ja–Nein Fragen (4P)

Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt.

Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.

richtig falsch Der Bahndrehimpuls eines einzelnen Elektrons ist immer

ganzzahlig.

Der Spin eines einzelnen Elektrons ist immer halbzahlig.

Der Gesamtdrehimpuls (Spin plus Bahndrehimpuls) eines einzelnen Elektrons kann sowohl ganzzahlig als auch halb- zahlig sein.

Die Energien des Wasserstoffatoms (ohne Spin) h¨angen nur von der Hauptquantenzahl ab.

K9. Zahlenfragen (4P)

Als Antwort wird nur eine Zahl erwartet. Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen halben Minuspunkt. Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.

Antwort Zu wieviel verschiedenen Gesamtdrehimpulsen k¨onnen zwei

Teilchen mit Einzeldrehimpulsen J 1 = 10 und J 2 = 10 kop- peln?

Zu wieviel verschiedenen Gesamtdrehimpulsen k¨onnen zwei Teilchen mit Einzeldrehimpulsen J 1 = 10 und J 2 = 0 kop- peln?

Wie groß ist der Entartungsgrad des d Orbitals (L = 2) des Wasserstoffatoms (ohne Spin)?

Wie groß ist der Entartungsgrad des isotropen dreidimen- sionalen harmonischen Oszillators im ersten angeregten Zu- stand?

K10. Zeeman–Effekt (8P)

Der Hamiltonoperator ˆ H 0 eines Teilchens in einem Zentralpotential habe Eigenzust¨ ande

| nLM i zu Eigenwerten E _nL ⁰ . Auf das System werden nun noch ein Magnetfeld der St¨arke B in z–Richtung aufgeschaltet, so dass der gesamte Hamiltonoperator

H ˆ = ˆ H 0 − ω _L L ˆ _z

lautet, wobei ω L = eB/(2mc) die Lamorfrequenz ist. Wir betrachten den Spin nicht.

i) Wie lauten die Eigenwerte von ˆ H zum Eigenzustand | nLM i als Funktion von E _nL ⁰ ,

von ω _L und von der magnetischen Quantenzahl M (2P)?

ii) Schreiben Sie die Heisenberggleichungen f¨ ur die Komponenten des Bahndrehimpuls- operators ~ L ˆ (3P).

iii) Das System werde zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand | n11 i pr¨apariert. Berechnen Sie den Erwartungswert von ˆ L x , ˆ L y und ˆ L z zum Zeitpunkt t > 0 (3P).

K11. Koh¨ arente Zust¨ ande (8P)

Die Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren ˆ a ^† und ˆ a erf¨ ullen die Kommutatorbeziehung [ˆ a, ˆ a ^† ] = 1. Die Zust¨ande | n i seien durch

ˆ

a ^† ˆ a | n i = n | n i , ˆ a ^† | n i = √

n + 1 | n+1 i , ˆ a | n i = √

n | n − 1 i

gegebene Eigenzust¨ ande des Besetzungszahloperators ˆ a ^† a ˆ und α sei eine komplexe Zahl.

Die durch

| α i = e ^{α a ˆ}

| 0 i

definierten Zust¨ande | α i werden koh¨arente Zust¨ande genannt.

i) Zeigen Sie, dass man | α i schreiben kann als

| α i =

∞

X

n =0

α ⁿ

√ n! | n i (1P).

ii) Zeigen Sie, dass die koh¨arenten Zust¨ande | α i Eigenzust¨ ande von ˆ a zum Eigenwert α sind (2P)?

iii) Berechnen Sie die Normierung h α | α i (2P) .

iv) Der Ortsoperator ˆ x l¨ aßt sich wie folgt darstellen ˆ

x = r ~

2mω

ˆ a + ˆ a ^† .

Berechnen Sie die Erwartungswerte h x ˆ i = h α | x ˆ | α i

h α | α i , h x ˆ ² i = h α | x ˆ ² | α i

h α | α i , h x ˆ ² i−h x ˆ i ² (3P).

K12. Potentialschwelle (3P)

Gegeben sei eine Potentialschwelle V (x) = V 0 Θ(x). Betrachten Sie ein von der nega- tiven x-Achse einlaufendes Wellenpaket, welches nur Energien unterhalb von V 0 enth¨alt.

Skizzieren Sie den Ortserwartungswert h x(t) i und zeichnen Sie zum Vergleich auch das Ergebnis der klassischen Dynamik x klass (t) ein (1P). Erl¨autern Sie die Unterschiede zwischen dem quantenmechanischen und dem klassischen Ergebnis (2P).

K13. Monte-Carlo Methode (3P)

i) In Mathematica liefert die Funktion RandomReal[] eine Zufallszahl. Welcher Verteilung gen¨ ugen diese Zufallszahlen, wenn die Funktion ohne Argumente aufgerufen wird (1P)?

ii) In den Computer¨ ubungen sollte die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte im Wasser-

stoffatom als Punktwolke visualisiert werden. Dazu werden zun¨achst zuf¨allig Punkte

im Raum ausgew¨ urfelt. Wie erreicht man, dass die Punktdichte direkt zur Wahrschein-

lichkeitsdichte | ψ | ² korrespondiert (2P)?