Numerik für Informatiker, Bio- und Medieninformatiker

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Fabian Merle

Numerik für Informatiker, Bio- und Medieninformatiker

Sommersemester 19 Tübingen, 04.07.2019

Übungsaufgaben 10

Dieses Übungsblatt dient zur Vorbereitung der Klausur – und wiederholt damit einige Themen der Vorlesung. Bitte beachten Sie, daß der gesamte Vorlesungsstoff Grundlage für die Klausur sein wird.

Problem 1. Beantworten Sie die folgenden Fragen mitJa oderNein. Jede richtige Antwort gibt da- bei einen halben Punkt; jede falsche Antwort einen negativen halben Punkt; sollte gar keine Antwort geschrieben werden, passiert nichts. Die Endpunktzahl ist die von Ihnen auf diese Weise addierte Punktzahl oder Null Punkte, falls die so berechnete Punktzahl negativ wäre.

a) Das Lösen eines linearen GleichungssystemsAAAx=bfürb ∈Rⁿist optimal konditioniert, wenn die MatrixAAA∈R^n×northogonal ist.

b) Jede Matrixnorm kann über die maximale Betragszeilensumme der Matrix berechnet werden.

c) Jede quadratische MatrixAAA∈R^n×nbesitzt eineQQQRRR-Zerlegung, d.h., es existieren eine orthogo- nale MatrixQQQ∈R^n×nund eine rechte obere DreiecksmatrixRRR ∈R^n×nmitAAA=QQQRRR.

d) Das Produkt zweier Householder-Matrizen ist wieder eine Householder-Matrix.

e) Der Lagrange’sche und der Newton’sche Ansatz zur Bestimmung des Interpolationspolynoms ergeben das gleiche Interpolationspolynom.

Problem 2. SeiAAA∈R^n×neine quadratische Matrix und es existieren eine linke untere Dreiecksmatrix LLL∈R^n×nund eine rechte obere DreiecksmatrixRRR∈R^n×n, sodaß AAA=LLLRRR.

a) Geben Sie einen Algorithmus an, der inO(n)Rechenschritten überprüft, obAAAinvertierbar ist.

b) Beweisen oder widerlegen Sie, ob eine solche Zerlegung inLLLundRRReindeutig ist.

c) Führen Sie eineLLLRRR-Zerlegung (ohne Pivotierung) durch der Matrix

AAA= 3 2 6 6

!

∈R^2×2.

Problem 3. Seia < bundf : [a, b]→Reine glatte Funktion.

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Leiten Sie für drei äquidistante Stützstellen die zugehörige abgeschlossene Newton-Cotes Quadratur- formel her und schreiben Sie diese in der Form

2

X

i=0

αif(bi),

mit zu bestimmenden Gewichten{α_i}²_i=0 und zu bestimmenden Knoten {b_i}²_i=0. Unter welchem Na- men ist die Quadraturformel bekannt?

Abgabe: 12.07.2019.

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