Quantentheorie f¨ur Nanoingenieure — Klausur

(1)

10. M¨ arz 2011 PD Dr. H. Kohler

Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — Klausur

K1. Ja–Nein Fragen (8P)

Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt.

Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨ onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.

richtig falsch Physikalisch beobachtbare Gr¨ oßen werden in der Quanten-

mechanik durch Hermitesche Operatoren beschrieben.

Fermionen haben immer halbzahligen Spin und Bosonen immer ganzzahligen Spin

Die klassische Mechanik resultiert aus der Quantenmechanik im Limes großer Quantenzahlen.

Das Photon ist ein relativistisches Teilchen. Daher kann ihm nicht eindeutig eine Statistik zugewiesen werden. Ein Photon ist weder Fermion noch Boson.

Die Wellenfunktion im Impulsraum ist die Fouriertrans- formierte der Wellenfunktion im Ortsraum.

In einem Isolator ist ein Energieband halb gef¨ ullt.

Ein Spin–

¹₂

Teilchen wird in einem magnetischen Feld abge- lenkt.

Die Anzahl der gebundenen Zust¨ ande im Wasserstoffatom

ist endlich.

(2)

K2. Tunneln durch asymmetrische Potentialschwelle (4P)

Ein Teilchen bewege sich in einer Dimension in dem Potential (siehe Skizze)

V (x) =



 



 



V

₀

= 0 , x ≤ 0 , V

1

> 0 , 0 < x ≤ a , V

₂

< V

₁

, a < x ≤ b ,

V

₃

= 0 , x > b

V

1

V

2

x–Achse y–Achse

a b

i) Skizzieren Sie den Realteil der Eigenfunktion zur Energie E f¨ ur a) 0 < E < V

₂

, b) V

₂

< E < V

₁

, c) E > V

₁

.

ii) Wie ist die Struktur des Spektrums in den drei Energiebereichen ? diskret kontinuierlich beides 0 < E < V

2

V

2

< E < V

1

E > V

1

Es gelten die Regeln von Aufgabe K1.

(3)

K3. Erwartungswerte des harmonischen Oszillators (4P) Gegeben sei der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators H ˆ = p ˆ

²

2m + mω

²

2 x ˆ

²

.

Der Oszillator befinde sich im Zustand

|ψi = 1

√ 2 (|ψ

₀

i + |ψ

₁

i) ,

wobei |ψ

_n

i Eigenzustand des Hamiltonoperators zum Eigenwert ~ ω(n+1/2) ist. Berech- nen Sie den Erwartungswert von Energie und Ort

hψ| H|ψi ˆ , hψ|ˆ x|ψi .

Zur Erinnerung: Hamiltonoperator ˆ H und Ortsoperator ˆ x lassen sich durch den Erzeu- gungsoperator ˆ a

^†

bzw. den Vernichteroperator ˆ a wie folgt ausdr¨ ucken:

H ˆ = ~ ω

ˆ a

^†

ˆ a + 1

2 , x ˆ = r

~ 2mω

ˆ a + ˆ a

^†

.

Die Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren wirken wie folgt auf Eigenzust¨ ande von H ˆ

a|ψ ˆ

_n

i = √

n|ψ

_n−1

i , a ˆ

^†

|ψ

_n

i = √

n + 1|ψ

_n+1

i

(4)

K4. Erwartungswerte eines Spins im Magnetfeld (4P)

Der Hamiltonoperator eines Elektronenspins in einem Magnetfeld B ~ in z–Richtung ist gegeben durch

H ˆ = ω

_L

S ˆ

_z

.

Hierbei ist ω

_L

= 2µ

_B

B

_z

/ ~ die sogenannte Lamorfrequenz. In der Eigenbasis ( | ↑i, | ↓i) von ˆ S

_z

sind die Spinoperatoren durch die 2 × 2 Matrizen

S ˆ

x

= ~ 2

0 1 1 0

, S ˆ

y

= ~ 2

0 −i

i 0

, S ˆ

z

= ~ 2

1 0 0 −1

Berechnen Sie die Kommutatoren [ ˆ S

_x

, S ˆ

_z

] , [ ˆ S

_x

, S ˆ

_z²

] .

Der Spin befinde sich am zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand

|ψi = 1

√

2 (| ↑i + | ↓i) .

Berechnen Sie den Erwartungswert hψ| S ˆ

x

|ψi .

Berechnen Sie die Wellenfunktion |ψ(t)i zum Zeitpunkt t = π/2ω

L

.