17. November 2010
PD Dr. H. Kohler, C. Recher
Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — ¨ Ubung 4
Abgabe: 24.11 2010
H14. Ehrenfest’sche Theoreme
Leiten Sie das Ehrenfest’sche Theorem f¨ur den Impuls d
dthψ(t)|~p|ψ(t)iˆ = −hψ(t)|∇V(ˆ~x)|ψ(t)i (1)
und ( etwas schwieriger) f¨ur den Drehimpuls
~ˆ
L = ˆ~x×p~ˆ (2)
das sogennante zweite Ehrenfest’sche Theorem d
dthψ(t)|L|ψ(t)i~ˆ =− hψ(t)|~xˆ× ∇V(ˆ~x)|ψ(t)i (3) her.
H15. Gauss’sches Wellenpaket
Eine eindimensionale Wellenfunktion sei wie folgt beschrieben ψ(x) =Cexp
− 1
4σ2 x−2iσ2k0
2
−σ2k20
(4) Eine solche Wellenfunktion nennt man Gauss’sches Wellenpaket. Berechnen Sie die Normierungskonstante C sowie die Erwartungswerte von ˆx, ˆx2, ˆp, ˆp2. Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)|2 .
H16. Dynamik von Spinzust¨anden
Der Hamiltonoperator sei in einem Zweizustandssystem (aufgespannt durch | ↑i und
| ↑i) durch den Spinoperator Sˆx = ~
2
0 1
1 0
, (5)
wie folgt beschrieben
Hˆ =BSˆx . (6)
Das Zweizustandssystem befinde sich zum Zeitpunkt t= 0 im Zustand | ↑i. L¨osen Sie die Schr¨odingergleichung
i~d
dt|ψ(t)i = BSˆx|ψ(t)i (7)
f¨ur|ψ(t)iindem Sie
|ψ(t)i = α(t)| ↑i+β(t)| ↓i (8)
schreiben und zwei gekoppelte Differentialgleichungen in t f¨urα(t) und β(t) herleiten.
Finden Sie die L¨osung dieser Gleichungen zu der entsprechenden Anfangsbedingung
|ψ(0)i=| ↑i. Bestimmen Sie die Erwartungswerte von ˆSx, ˆSy, und ˆSz bez¨uglich |ψ(t)i.
