Prof. Dr. P. Rentrop, Dr. K.-D. Reinsch SoSe 2013
Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 4. ¨ Ubung
Zentrum Mathematik, TU M¨ unchen
Differential- und Integralrechnung (MSE) [Modul MA9802]
Unterst¨ utzung im Internet unter http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/DiffIntegSoSe13
Stammfunktionen, Substitutionsregel und partielle Integration Es gilt zwar Differenzieren als Handwerk und Integrieren als Kunst,
aber gewisse k¨ unstlerische F¨ ahigkeiten lassen sich auch erlernen.
Tutor¨ ubung (Bearbeitung in der Woche vom Mo. 13.05.2013 – Fr. 17.05.2013)
1) Man berechne die nachfolgenden unbestimmten Integrale, (bzw. Stammfunktionen der Integranden).
a) Z
x
3(x
4+ 2)
20dx , b) Z
x sin(x
2) dx , c) Z
sin
24(x) cos(x) dx ,
d)
Z 1
x ln(x) dx , e)
Z
tan(x) dx , f)
Z √
e
x+1 dx ,
g) Z
ln(x) dx , h)
Z
e
xsin(x) dx , i) Z
x sin(x) cos(x) dx .
2) Man gebe mit Berechnung bzw. geeigneter Begr¨ undung den Wert der nachfolgenden be- stimmten Integrale an.
a)
2π
Z
0
sin
3(x)
dx , b)
1
Z
0
1
e
x+ e
−xdx , c)
π/2
Z
−π/2
cos
13(x) sin
3(x) dx .
3) Man f¨ uhre die nachfolgenden unbestimmten Integrale duch Substitution t = tan
ξ 2
auf die Integration einer rationalen Funktion zur¨ uck.
a)
x
Z 1
sin(ξ) dξ , b)
x
Z 1
3 sin(ξ) + 4 cos(ξ) dξ .
– 2 –
Hausaufgaben
1) Man berechne die nachfolgenden unbestimmten Integrale, (bzw. Stammfunktionen der Integranden).
a) Z
x
5(x
6− 4)
11dx , b) Z
x cos(x
2) dx , c) Z
cos
13(x) sin
3(x) dx ,
d)
Z 1
x ln
2(x) dx , e) Z
cot x dx , f)
Z
x
2cos(x) dx ,
g) Z
arc tan(x) dx , h) Z
e
xcos(x) dx , i) Z
x (cos
2(x) − sin
2(x)) dx .
2) Man gebe mit Berechnung bzw. geeigneter Begr¨ undung den Wert der nachfolgenden be- stimmten Integrale an.
a)
π/2
Z
0
sin(x) e
cos(x)dx , b) Z
π0
cos
3(x)
dx , c) Z
π−π
cos
13(x) x
157dx .
3) Man f¨ uhre die nachfolgenden unbestimmten Integrale duch Substitution t = tan
ξ 2
auf die Integration einer rationalen Funktion zur¨ uck.
a)
x
Z 1
cos(ξ) dξ , b)
x
