Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 7. ¨ Ubung

(1)

Prof. Dr. P. Rentrop, Dr. K.-D. Reinsch SoSe 2013

Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 7. ¨ Ubung

Zentrum Mathematik, TU M¨ unchen

Differential- und Integralrechnung (MSE) [Modul MA9802]

Unterst¨ utzung im Internet unter http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/DiffIntegSoSe13

Tutor¨ ubung (Bearbeitung in der Woche vom Mo. 10.06.13 – Fr. 14.06.13) 1) Fl¨ache im Raum: Sinuskegel

Gegeben ist die Funktion

f (x, y) :=







x

³

− 3 x y

²

x

²

+ y

²

, (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0) .

a) Man zeige: f ist stetig f¨ ur alle (x, y) ∈ IR

²

, d.h. insbesondere in (0, 0) .

b) Man berechne ∇f f¨ ur alle (x, y) ∈ IR

²

. c) Sind f

_x

und f

_y

in (0, 0) stetig?

d) Man berechne die Richtungsableitung ∂

v

f (x, y) von f im Punkt (x, y) = (0, 0) in Rich- tung v =

√¹

2

1 1

und vergleiche die Richtungsableitung ∂

v

f(0, 0) mit

∇f (0, 0)

T

v . e) Ist f in (0, 0) total differenzierbar? Besitzt f in (0, 0) eine Tangentialebene?

2) (Unrestringierte) Minimierung von stetig differenzierbaren Funktionen Gegeben sei die Rosenbrock-Funktion

f (x, y) = (1 − x)

²

+ 100 (y − x

²

)

²

, (x, y) ∈ IR

²

. a) Man bestimme das Minimum von f .

b) Man formuliere das Gradientenverfahren bzw. das Verfahren des steilsten Abstiegs mit exakter Liniensuche zur Minimierung der Rosenbrock-Funktion f .

Fl¨ache z=f(x, y), 0.5≤x≤2, 0.5≤x≤2

– 2 –

(2)

Hausaufgaben

1) Fl¨ache im Raum Gegeben ist die Funktion

f (x, y) :=







x y x

²

− y

²

x

²

+ y

²

, (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0) .

a) Man zeige: f ist stetig f¨ ur alle (x, y) ∈ IR

²

, d.h. insbesondere in (0, 0) .

Hinweis:

1. M¨oglichkeit:

Man zeige und benutze die Absch¨atzung

| f (x, y) | ≤ |x| |y| f¨ ur (x, y) 6= (0, 0) . 2. M¨oglichkeit

Man f¨ uhre Polarkoordinaten x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ein und zeige g(r, ϕ) = f(r cos ϕ , r sin ϕ) ist stetig.

b) Man berechne ∇f f¨ ur alle (x, y) ∈ IR

²

. c) Man zeige f

x

und f

y

sind in (0, 0) stetig.

d) Man zeige f

_xy

(0, 0) 6= f

_yx

(0, 0) . Hinweis:

Man verwende f

_xy

(0, 0) = lim

y→0

f

_x

(0, y) − f

_x

(0, 0)

y − 0 und f

_yx

(0, 0) = lim

x→0

f

_y

(x, 0) − f

_y

(0, 0)

x − 0 .

2) (Unrestringierte) Minimierung von stetig differenzierbaren Funktionen Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 2 x

⁴

− 4 x

²

y + 3 y

²

− 2 y + 1 , (x, y) ∈ IR

²

.

a) Man bestimme die Extrema von f .

b) Man formuliere das Gradientenverfahren bzw. das Verfahren des steilsten Abstiegs mit exakter Liniensuche zur Bestimmung des Minimums der Funktion f mit positiver x-Koordinate.

Fl¨ache z=f(x, y), 0≤x≤2, 0≤x≤2 H¨ohenlinien vonf

Abgabe Dienstag, den 18.06.2013, nach der Vorlesung