Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 3. ¨ Ubung

Prof. Dr. P. Rentrop, Dr. K.-D. Reinsch SoSe 2013

Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 3. ¨ Ubung

Zentrum Mathematik, TU M¨ unchen

Differential- und Integralrechnung (MSE) [Modul MA9802]

Unterst¨ utzung im Internet unter http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/DiffIntegSoSe13

Information zum Tutorium am Donnerstag der Woche vom 06.05.13 – 10.05.13 Die TeilnehmerInnen der Tutorgruppe 5 am Donnerstag, 09.05.13 (Feiertag

” Christi Himmelfahrt“) werden gebeten, sich in dieser Woche auf die Tutorgruppen 1 – 4 und 6 zu verteilen.

Tutor¨ ubung (Bearbeitung in der Woche vom Mo. 06.05.13 – Fr. 10.05.13) 1) Konvergenz von Reihen

Man untersuche, ob die folgenden Reihen konvergieren:

a)

∞

X

n =1

( − 1) ⁿ 1

√

n b)

∞

X

n =1

√ n + 1 − √

√ n n c)

∞

X

n =1

e ^{1 /n}

− 1 Hinweis zu c): Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung liefert

e ^x − e ⁰

x − 0 = e ^ξ mit 0 < ξ < x . 2) Bestimmung von Konvergenzradien

Man bestimme den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

a)

∞

X

k =0

x ^{5 k}

(4 + ( − 1) ^k ) ^{3 k} , b)

∞

X

k =0

(k!) ⁴

(4 k)! x ^k , c)

∞

X

k =1

k ^k x ^k .

3) Separable/trennbare Differentialgleichungen

Man l¨ose das Anfangswertproblem y ^′ = 2 x y ² mit y(1) = y 0 f¨ ur y 0 = − 1 2 , 0 , 1

2 und bestimme jeweils das maximale Definitionsintervall der L¨osungsfunktion y(x) .

Bemerkung:

i) Das maximale Defininitionsintervall einer L¨osung des

AWP y ^′ (x) = f (x, y(x)) , y(x 0 ) = y 0

ist das Intervall I maximaler L¨ange mit den Eigenschaften

• x 0 ∈ I .

• y(x) ist differenzierbar ∀ x ∈ I .

ii) Außerhalb von I existiert keine L¨osung des AWP.

– 2 –

Hausaufgaben

1) Konvergenz von Reihen

Man untersuche, ob die folgenden Reihen konvergieren:

a)

∞

X

n =0

1

1 + n ² b)

∞

X

n =1

1 2 ⁿ n ² c)

∞

X

n =1

( − 1) ⁿ ln(n)

n d)

∞

X

n =1

( − 1) ⁿ n + 1

2 n e)

∞

X

n =1

ln

1 + 1 n

Hinweis zu e): Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung liefert ln(1 + x) − ln 1

x − 0 = 1

1 + ξ mit 0 < ξ < x .

2) Bestimmung von Konvergenzradien

Man bestimme den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

a )

∞

X

k =1

k

(2k − 1) 2 ^k x ^k , b)

∞

X

k =1

k ²

2 ^k x ^{2 k} , c)

∞

X

k =1

2k k

x 2

² k

,

d)

∞

X

k =1

( − 1) ^k 2 ^k + 1

k x ^k , e)

∞

X

k =1

( − 1) ^k 1 − ( − 2) ^{− k −1} k!

k! x ^k ,

f)

∞

X

k =1

√

k ² + k − √

k ² + 1 k

k ² x ^k .

3) Separable/trennbare Differentialgleichungen Man l¨ose das Anfangswertproblem y ^′ +y ² exp

1 y − x

= 0 mit y(1) = y 0 f¨ ur y 0 = − 1 , 1 und bestimme jeweils das maximale Definitionsintervall der L¨osungsfunktion y(x) .

Abgabe Dienstag, den 14.05.2013, nach der Vorlesung