Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 05/06

Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 05/06

10. Vorlesung Michael Karow

Thema heute:

• Nachtr¨age zur δ-Funktion und zur Stabilit¨at

• Beispiele f¨ur lineare partielle Differentialgleichungen, die 1-dimensional im Ort sind.

• Randwertprobleme

Nachtrag zur δ-Funktion (Antwort auf eine Frage aus dem Publikum) In der letzten VL wurde die Behauptung aufgestellt, dass f¨ur jede Dirac-Folge w_k : [0,∞) → R _{und f¨}ur jede stetige Funktion f : [0,∞) → C _gilt:

k→∞lim Z ∞

0

w_k(t)f(t)dt = f(0), (∗) Allgemeiner:

k→∞lim Z _∞

0

w_k(t− T)f(t)dt = f(T). (∗∗) Damit wurde begr¨undet, dass

L[δ(t)](s) := 1 und L[δ(t − T)](s) := e^−sT und

Z t 0

δ(t− τ)f(τ)dτ = f(t).

Auf der folgenden Seite wird (∗) bewiesen. Der Beweis von (∗∗) ist analog.

Erinnerung: Dirac-Folgen

Ein Funktionenfolge w_k : [0,∞) → [0,∞), k ∈ N_{, heisst} Dirac-Folge, wenn gilt 1. w_k(t) = 0 f¨ur t ausserhalb des Intervalls [0, T_k],

2. lim_k→∞T_k = 0 3. RTk

0 w_k(t)dt = 1 f¨ur alle k ∈ N_.

w w w w

1 2 3 4

1 1

t

Behauptung: F¨ur jede stetige Funktion f : [0,∞) → C _gilt

k→∞lim Z _∞

0

w_k(t)f(t)dt = lim

k→∞

Z _Tk

0

w_k(t)f(t)dt = f(0).

Beweis:

k→∞lim Z _Tk

0

w_k(t)f(t)dt = lim

k→∞

Z _Tk

0

w_k(t) (f(0) + (f(t) − f(0)))dt

= f(0)

Z _Tk

0

w_k(t)dt

| {z }

=1

+ lim

k→∞

Z _Tk

0

w_k(t) (f(t)− f(0))dt,

Der rechte Term ist 0, denn

Z Tk

0

w_k(t) (f(t)− f(0))dt ^≤

Z Tk

0

w_k(t)|(f(t)−f(0))|, dt ≤

Z Tk

0

w_k(t)dt max

t∈[0,Tk]|(f(t) − f(0))|

| {z }

→0 weil f stetig

.

Nachtrag zur Stabilit¨at (Antwort auf eine Frage aus dem Publikum)

Erinnerung: Ein lineares homogenes DGL-System mit konstanten Koeffizienten

˙

y_h(t) = A y_h(t)

ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von A negativen Realteil haben.

Insbesondere gilt dann

t→∞lim y_{h(t) = 0 (∗)} f¨ur jede L¨osung.

Frage: Was bedeutet das f¨ur inhomogene Systeme

˙

y(t) = A y(t) + f(t) ?

Antwort: Die allgemeine L¨osung des inhomogenen Systems ist y(t) = y_h(t) +y_p(t)

mit einer partikul¨aren L¨osung y_p(t). Aus (∗) folgt:

t→∞lim(y(t) − y_p(t)) = 0.

D.h. alle L¨osungen der inhomogenen Gleichung konvergieren gegeneinander.

Beispiel: Temperaturverteilung in einem d¨unnen Stab Bezeichnungen:

θ(x, t) Temperatur ρ(x) Dichte

c(x) spez. W.-Kapazit¨at A(x) Querschnittsfl¨ache

λ(x) W¨armeleitkoeffizient f(x, t) W.-Quelldichte

x x

a b

Rand−

bedingung

Rand−

bedingung Waerme f(x,t)

W¨armeleitungsgleichung:

(c(x)ρ(x)A(x)) ∂θ

∂t(x, t)− ∂

∂x

λ(x)A(x) ∂θ

∂x(x, t)

= f(x, t).

Kurz:

(c ρ A) ˙θ − (λ A θ^′)^′ = f. M¨ogliche Randbedingungen:

1. θ(a, t) = θa(t)

Temperatur am Rand, θ_a, vorgegeben. Dirichlet-Randbedingung.

2. −λ(a)A(a) _∂x^∂θ(a, t) = q_a(t)

W¨armestrom am Rand, qa, vorgegeben. Neumann-Randbedingung.

3. −λ(a)A(a) ^∂θ

∂x(a, t) = α(θ_U(t)− θ(a, t))

θ_U=Umgebungstemperatur, α=W¨arme¨ubergangskoeffizient.

W¨armestrom proportional zur Temperaturdifferenz am Rand.

Robin-Randbedingung (Cauchy-Randbedingung).

Analog f¨ur Randpunkt b.

Herleitung der W¨armeleitungsgleichung

Situation: ^{x x+h}

q(x+h,t) f

ξ

q(x,t)

Energieerhaltungssatz ⇒ Anderung der Energiemenge in Intervall [x, x¨ + h]

= entlang der Stabachse zugef¨uhrte Energie f

+ einstr¨omende Energie ¨uber die seitlichen R¨ander Fourier’sches Gesetz ⇒ Der Energiefluss (W¨armestrom) nach rechts durch die

Querschnittsfl¨ache bei x ist: q(x, t) = −A(x)λ(x)θ^′(x, t) Energiebilanz in Formeln:

d dt

Z x+h x

c(ξ)ρ(ξ)A(ξ)θ(ξ, t)dξ

| {z }

Energie in [x,x+h]

=

Z x+h x

f(ξ, t)dξ

| {z }

zugef¨uhrte Energie

+ q(x, t) − q(x +h, t)

| {z }

seitlicher Energiefluss Ableiten nach t unter dem Integral und Teilen durch h ergibt:

1 h

Z _x+h x

c(ξ)ρ(ξ)A(ξ) ˙θ(ξ, t)dξ = 1 h

Z _x+h x

f(ξ, t)dξ + q(x, t) − q(x + h, t) h

Grenz¨ubergang h → 0 ergibt:

c(x)ρ(x)A(x) ˙θ(x, t) = f(x, t) − q^′(x, t)

= f(x, t) − (−A(x)λ(x)θ^′(x, t) )^′.

Longitudinale Verformung eines Stabes

Referenzlage → (unverformt)

Momentanlage → (verformt)

u u u

x

x+u(x,t) x x+u(x,t) x x+u(x,t)

x x

x

a Randbed. Randbed. b

Bewegungsgleichung f¨ur das Verschiebungsfeld:

(A(x)ρ(x)) ∂²u

∂t²(x, t) − ∂

∂x

A(x)E(x) ∂u

∂x(x, t)

= f(x, t). Kurz: (A ρ) ¨u − (A E u^′)^′ = f, wobei: u(x, t) =Verschiebungsfeld E(x) = E-Modul

A(x) = Querschnittsfl¨ache f(x, t) = Dichte der ¨ausseren K¨afte

ρ(x) = Dichte (z.B. Gravitation, Magnetfeld)

Beispiel f¨ur Randbedingungen:

1. u(a, t) = U(t). (Verschiebung U am linken Rand vorgegeben)

2. −A(b)E(b)u^′(b, t) = T(t). (Kontaktkraft T am rechten Rand vorgegeben)

Herleitung der DGL f¨ur das Verschiebungsfeld Situation:

x+u(x,t)

T(x,t) −T(x+h,t) T(x+h,t)

u(x,t) u(x+h,t)

(x+h)+u(x+h,t)

Impulsbilanz ⇒ Anderung des Impulses in Intervall [¨ x, x + h]

= Summe der angreifenden Kr¨afte (Volumen- und Kontaktkr¨afte)

Hook’sches Gesetz ⇒ Die Kontaktkraft, die von links auf die Querschnitts- fl¨ache bei x wirkt, ist: T(x, t) = A(x) E(x)u^′(x, t)

| {z }

Spannung

Impulsbilanz in Formeln:

d dt

Z _x+h x

A(ξ)ρ(ξ) ˙u(ξ, t)dξ

| {z }

Impuls in [x,x+h]

=

Z _x+h x

f(ξ, t)dξ

| {z }

Volumen- Kr¨afte

+ T(x, t) − T(x + h, t)

| {z }

seitliche

Kontaktkr¨afte Ableiten nach t unter dem Integral und Teilen durch h ergibt:

1 h

Z x+h x

A(ξ)ρ(ξ) ¨u(ξ, t)dξ = 1 h

Z x+h x

f(ξ, t)dξ + T(x, t) − T(x + h, t) h

Grenz¨ubergang h → 0 ergibt:

A(x)ρ(x) ¨u(x, t) = f(x, t) − T^′(x, t)

= f(x, t) − (A(x)E(x)u^′(x, t) )^′.

Transversale Verformung eines Stabes (Balkenbiegung)

x

w(x,t)

Lastschuettung p(x,t)

L

Randbed.

Randbed.

0

Linearisierte Bewegungsgleichung f¨ur die Biegelinie:

(A(x)ρ(x)) ∂²w

∂t² (x, t) + ∂²

∂x²

I(x)E(x) ∂²w

∂x²(x, t)

= p(x, t).

Kurz:

(A ρ) ¨w + (I E w^′′)^′′ = p,

wobei: w(x, t) =Biegelinie E(x) = E-Modul

A(x) = Querschnittsfl¨ache I(x) = Fl¨achentr¨agheitsmoment ρ(x) = Dichte p(x, t) = Lastsch¨uttung

Beispiel f¨ur Randbedingungen:

1. w(0) = w^′(0) = 0 (feste Einspannung)

2. I(L)E(L)w^′′(L, t) = M(t) (vorgegebenes Biegemoment M am freien Ende) 3. (I(L)E(L)w^′′(L, t))^′ = Q(t) (vorgegebenes Querkraft Q am freien Ende)

Dis vorgespannte Saite (Seil)

L 0

Lastschuettung f(x,t)

x

u(x,t)

Linearisierte Bewegungsgleichung f¨ur die Saite:

(A(x)ρ(x)) ∂²u

∂t²(x, t) − τ ∂²u

∂x²(x, t) = f(x, t). Kurz:

(A ρ) ¨u − τ u^′′ = f,

wobei: u(x, t) = Seillinie τ = Vorspannung

ρ(x) = Dichte f(x, t) = Lastsch¨uttung A(x) = Querschnittsfl¨ache

Randbedingungen: u(0) = u(L) = 0

Die bisher aufgef¨uhrten Beispiele sind von der Form

µ(x) ˙u(x, t)− (k(x)u(x, t)^′)^′ = f(x, t) kurz: µu˙ − (k u^′)^′ = f, µ(x) ¨u(x, t)− (k(x)u(x, t)^′)^′ = f(x, t) kurz: µu¨ + (k u^′)^′ = f. µ(x) ¨u(x, t) + (k(x)u(x, t)^′′)^′′ = f(x, t) kurz: µu¨ + (k u^′′)^′′ = f. Hinzu kommen Randbedingungen.

Im folgenden betrachten wir den statischen Fall, d.h. den Fall, dass alle Gr¨oßen nicht von der Zeit t abh¨angen. DGL lauten dann:

−(k(x)u(x)^′)^′ = f(x) kurz: −(k u^′)^′ = f, (k(x)u(x)^′′)^′′ = f(x) kurz: (k u^′′)^′′ = f.

Die Differentialausdr¨ucke auf der linken Seite kann man auch so schreiben:

−(k(x)u(x)^′)^′ = −k(x)u^′′(x) − k^′(x)u^′(x) =

−k(x) d²

dx² − k^′(x) d dx

u(x)

(k(x)u(x)^′′)^′′ =

k(x) d⁴

dx⁴ + 2k^′(x) d³

dx³ + k^′′(x) d² dx²

u(x).

Allgemeiner behandeln wir im folgenden Randwertprobleme f¨ur DGL der Form

an(x) dⁿ

dxⁿ + an−1(x) dⁿ⁻¹

dxⁿ⁻¹ +. . . + a1(x) d

dx + a0(x)

| {z }

=:L

u(x) = f(x)

Der Differentialoperator L ist linear: L[c1u1 + c2u2] = c1 L[u1] +c2L[u2], c1, c2 ∈ C_.

Die Randbedingungen in den Beispielen lassen sich alle auf folgende Gestalt bringen:

β_mu^(m)(x) + β_m−1 u^(m−1)(x) + . . .+ β1 u^′(x) +β0u(x) = r,

wobei β0, . . . , βm, r Konstanten sind, und x ∈ {a, b} einer der Randpunkte des betrachteten Intervalls ist.

Beispiel: Die Cauchy-Randbedingung f¨ur die W¨armeleitungsgleichung lautet im station¨aren Fall

−λ(a)A(a)θ^′(a) = α(θ_U − θ(a)) Umgestellt:

−λ(a)A(a)

| {z }

β1

θ^′(a) + α

|{z}β0

θ(a) = α θ_U

|{z}r

Man kann auch Randbedingungen haben, an denen beide Randpunkte beteiligt sind.

Etwa periodische Randbedingungen

u(a) − u(b) = 0, u^′(a) − u^′(b) = 0, . . . Deshalb betrachtet man allgemein Randbedingungen der Form

Xm j=0

βju^(j)(a) + Xm j=0

γju^(j)(b)

| {z }

:=R[u]

= r

Solche Randoperatoren R sind linear:

R[c1 u1 + c2 u2] = c1R[u1] + c2R[u2], c1, c2 ∈ C_.

Allgemeine Formulierung station¨arer linearer Randwertprobleme in einem endlichen Intervall

Mit den Abk¨urzungen L[u](x) =

an(x) dⁿ

dxⁿ + a_n−1(x) dⁿ⁻¹

dxⁿ⁻¹ + . . .+ a1(x) d

dx + a0(x)

u(x)

R_ℓ[u] =

mℓ

X

j=0

β_ℓ,j u^(j)(a) +

mℓ

X

j=0

γ_ℓ,j u^(j)(b).

lautet das lineare Randwertproblem:

Finde die Funktion(en) u : [a, b] → C_{, so dass}

L[u](x) = f(x), R1[u] = r1, R2[u] = r2, . . . , R_N[u] = r_N

Eine wichtige Frage dabei ist:

Unter welchen Bedingungen existiert eine eindeutige L¨osung des Randwertproblems?

Diese Frage wird auf den folgenden Seiten diskutiert.

Erinnerung: L¨osungstheorie f¨ur lineare DGL h¨oherer Ordnung

Sei an(x) 6= 0 f¨ur alle x im betrachteten Intervall. Dann kann man die DGL

an(x) dⁿ

dxⁿ + an−1(x) dⁿ⁻¹

dxⁿ⁻¹ + . . .+ a1(x) d

dx + a0(x)

u(x) = f(x) (∗) in der Form

u⁽ⁿ⁾(x) = −a_n−1(x)

an(x) u⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + . . . − a1(x)

an(x) u^′(x) − a0(x)

an(x) u(x) + f(x) an(x) schreiben. Diese Gleichung ist ¨aquivalent zu folgender DGL 1. Ordnung:

d dx









u(x) u^′(x)

...

u⁽ⁿ⁻²⁾(x) u⁽ⁿ⁻¹⁾(x)









=









0 1

0 1

. . . .

0 1

−^a_a^0(x)

n(x) −^a_a^1(x)

n(x) . . . −^a_a^n−2(x)

n(x) −^a_a^n−1(x)

n(x)









| {z }

C(x)









u(x) u^′(x)

...

u⁽ⁿ⁻²⁾(x) u⁽ⁿ⁻¹⁾(x)







 +







 0 0...

0

f(x) an(x)









(∗∗)

Jede Fundamentalmatrix des homogenen Systems y^′(x) = C(x)y(x) ist von der Form

Y_(x) =







u1(x) u2(x) . . . un(x) u^′₁(x) u^′₂(x) . . . u^′_n(x)

... ... ...

u⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (x) u⁽ⁿ⁻¹⁾₂ (x) . . . u⁽ⁿ⁻¹⁾_n (x)





^. Die allgemeine L¨osung von (∗) ist dann

u(x) = c1 u1(x) + c2u2(x) +. . . + cnun(x) +up(x), c1, . . . , cn ∈ C_,

mit einer partikul¨aren L¨osung u_p, die man finden kann, indem man auf (∗∗) Variation der Konstanten anwendet.

Der Existenz-und Eindeutigkeitssatz

Wir haben gerade festgestellt, dass die gemeine L¨osung der DGL L[u](x) =

a_n(x) dⁿ

dxⁿ + a_n−1(x) dⁿ⁻¹

dxⁿ⁻¹ + . . .+ a1(x) d

dx + a0(x)

u(x) = f(x)

von der Form

u(x) = c1u1(x) + c2 u2(x) + . . .+ cnun(x) +up(x) (∗)

ist, mit den n freien Parametern c1, . . . , c_n∈ C_{. Dies l¨}asst vermuten, dass die L¨osung eindeutig wird, wenn man ausserdem n Randbedingungen vorgibt. Genauer gilt der

Satz: Sei u1, . . . , un : [a, b] → C _{eine L¨}osungsbasis der homogenen DGL L[u](x) = 0.

Wenn f¨ur die linearen Randoperatoren R_ℓ[u], ℓ = 1, . . . , n, gilt, dass det









R1[u1] . . . R1[un]

... ...

Rn[u1] . . . Rn[un]







 66= 0, (∗∗) dann hat das lineare Randwertproblem

L[u](x) = f(x), R1[u] = r1, R2[u] = r2, . . . , Rn[u] = rn

f¨ur jede rechte Seite f und jede Wahl von r1, . . . , rn genau eine L¨osung.

Beweis: Anwenden eines Randoperators R_ℓ auf (∗) ergibt die Bedingung:

r_ℓ = R_ℓ[u] = R_ℓ[c1u1 + . . . + cnun + up] = c1R_ℓ[u1] + . . .+ cnR_ℓ[un] + R_ℓ[up].

Man hat also pro Randbedingung eine lineare Gleichung f¨ur die Koeffizienten c_j. Insgesamt hat man ein lineares Gleichungssystem, dass genau dann eindeutig l¨osbar ist, wenn (∗∗) gilt.

Ein Beispiel zur L¨osung eines Randwertproblems Problem: Finde u : [0,1] → C _{so dass}

−u^′′(x) = sin(2x + 3), u(0) − u^′(0) = 7, 2u(1) +u^′(1) = 0.

L¨osung: Eine L¨osungsbasis des homogenen Systems −u^′′(x) = 0 ist u1(x) = 1, u2(x) = x.

Eine partikul¨are L¨osung von −u^′′(x) = sin(2x+ 3) ist up(x) = (1/4) sin(2x + 3). Die allgemeine L¨osung ist also

u(x) = c1 u1(x) + c2u2(x) + up(x) = c1 + c2 x+ (1/4) sin(2x + 3). Die beiden Randbedingungen sind

u(0) − u^′(0) = c1 + (1/4) sin(3) − c2 − (1/2) cos(3) = 7, 2u(1) +u^′(1) = 2c1 + 3c2 + (1/2) sin(5) + (1/2) cos(5) = 0.

Dies ist ein lineares Gleichungssystem f¨ur c1, c2. In Matrixform lautet es 1 −1

2 3

c1

c2

=

_{7 −} (1/4) sin(3) + (1/2) cos(3)

−(1/2) sin(5) − (1/2) cos(5)

.

Dies ist eindeutig l¨osbar, denn

det

1 −1

2 3

6= 0.

Die Green’sche Funktion f¨ur halbhomogene Randwertprobleme Ein halbhomogenes Randwertproblem ist von der Gestalt

L[u](x) = f(x), R1[u] = 0, R2[u] = 0, . . . , Rn[u] = 0 (∗).

Es wird also gefordert, dass die Randwerte der gesuchten Funktion alle 0 sind.

Satz:

Angenommen, es gilt det









R1[u1] . . . R1[un]

... ...

Rn[u1] . . . Rn[un]







 66= 0 f¨ur ein Fundamentalsystem u1, . . . , un : [a, b] → C _von L. Dann gibt es genau eine (Green’sche) Funktion

g : [a, b] × [a, b] → C, mit der Eigenschaft, dass u(x) =

Z _b

a

g(x,ξ)f(ξ)dξ x ∈ [a, b]

f¨ur jede steige Funktion f die L¨osung von (∗) ist. g ist von der Gestalt g(x,ξ) = g_ξ(x) =

(c1(ξ)u1(x) + c2(ξ)u2(x) + . . . + cn(ξ)un(x) f¨ur x < ξ, d1(ξ)u1(x) + d2(ξ)u2(x) + . . . + d_n(ξ)u_n(x) f¨ur x ≥ ξ.

Dabei m¨ussen die Koeffizienten c_j(ξ), d_j(ξ) so gew¨ahlt werden, dass gilt:

1. F¨ur jedes ξ erf¨ullt g_ξ die homogenen Randbed. R1[g_ξ] = 0, R2[g_ξ] = 0, . . . , Rn[g_ξ] = 0.

2. An der Stelle x = ξ stimmen die linksseitigen und die rechtsseitigen Ableitungen der Funktion g_ξ bis zur (n−2)-ten Ordnung ¨uberein. Die (n−1)-te Ableitung macht an der Stelle x = ξ einen Sprung um den Wert 1/an(ξ).

Beispiel zur Green’schen Funktion

Das Randwertproblem f¨ur den links fest gelagerten und rechts freien Balken mit Lastsch¨uttung f lautet

u⁽⁴⁾(x) = f(x), u(0) = u^′(0) = 0, u^′′(L) = u^′′′(L) = 0. (∗) Dabei wurde f¨ur die Biegesteifigkeit E(x)I(x) ≡ 1 angenommen.

Die homogene Gleichung u⁽⁴⁾(x) = 0 wird von den Polynomen vom Grad ≤ 3 gel¨ost.

Insbesondere bilden die Funktionen

1, (x− ξ), (x − ξ)², (x − ξ)³ f¨ur jedes feste ξ ∈ R ein Fundamentalsystem.

Eine kurze Rechnung mit diesem Ansatz ergibt, dass

g(x, ξ) =

((1/3)ξ³ + (1/2)ξ²(x− ξ) − (1/6)(x− ξ)³ f¨ur x < ξ (1/3)ξ³ + (1/2)ξ²(x− ξ) f¨ur x ≥ ξ.

die zugeh¨orige Green’sche Funktion ist. Die L¨osung von (∗) ist dann u(x) =

Z L 0

g(x, ξ)f(ξ)dξ x ∈ [0, L].

Eigenwertprobleme

Eigenwertprobleme f¨ur lineare DGL sind im einfachsten Fall von der Form

L[u](x) = λ u(x), R1[u] = 0, R2[u] = 0, . . . , Rn[u] = 0 λ ∈ C_.

Leicht umgestellt:

L[u](x) − λ u(x) = 0, R1[u] = 0, R2[u] = 0, . . . , Rn[u] = 0 λ ∈ C_.

Es handelt sich dabei also um vollst¨andig homogene Probleme f¨ur Differentialoperatoren der Form

L_λ[u](x) = L[u](x) − λ u(x).

Eine triviale L¨osung ist immer u(x) ≡ 0. Man ist nat¨urlich an anderen L¨osungen interes- siert. Wegen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes k¨onnen nichttriviale L¨osungen nur existieren, wenn

det









R1[u_1,λ] . . . R1[u_n,λ]

... ...

Rn[u_1,λ] . . . Rn[u_n,λ]







 = 0.

f¨ur ein Fundamentalsystem u_1,λ, u_2,λ, . . . , u_n,λ von L_λ. Dies ist nur f¨ur ganz besitmmte Werte von λ der Fall.

Mehr dar¨uber in der n¨achsten VL.