Universit¨at Heidelberg
Interdisziplin¨ares Zentrum f¨ur Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Andreas Potschka
Ubungsblatt 8¨
Einf¨uhrung in die Numerik, Sommersemester 2017
1. Kleinste Fehlerquadrate (3 + 2 + 1 + 1 = 7 Punkte) Betrachtet werde das Gleichungssystem Ax=b der Form
1 3 −4 3 9 −2 4 12 −6
2 6 2
x1 x2
x3
=
1 1 1 1
.
(a) Man untersuche, ob das System l¨osbar ist (mit Begr¨undung).
(b) Man bestimme eine L¨osung nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
(c) Ist diese L¨osung eindeutig?
(d) Ist die Matrix ATA positiv definit?
2. Gewichtete Least-Squares-Probleme (3 Punkte)
Wenn in dem Gleichungssystem von Aufgabe 1 einzelnen der Gleichungen bei der L¨osung mehr Gewicht beibemessen werden soll, z.B. weil die zugeh¨origen Messwerte zuverl¨assiger als die anderen sind, so kann dies dadurch ber¨ucksichtigt werden, dass statt kAx−bk2 ei- ne gewichtete Quadratsumme kD(Ax−b)k2 minimiert wird. Dabei ist D= diag(dii) eine Diagonalmatrix mit Elementen dii >0 . Wie lautet in diesem Fall das zugeh¨orige Normal- gleichungssystem?
3. Ein neuer Komet (6 Punkte)
Nach dem ersten Keplerschen Gesetz bewegt sich ein Komet im Sonnensystem auf einer ebenen Bahn von Ellipsen- oder Hyperbelform, wenn St¨orungen durch die Planeten ver- nachl¨assigt werden. Bez¨uglich eines in der Sonne zentrierten polaren (r, φ)-Koordinatensys- tems wird diese Bahn durch dieKegelschnittgleichung
r = p
1−ecos(φ)
beschrieben mit der Exzentrizit¨at e und einem Parameter p. F¨ur 0 ≤ e < 1 liegt eine Ellipse, f¨ur e= 1 eine Parabel und f¨ur e >1 eine Hyperbel vor. F¨ur einen neu entdeckten Kometen wurden die folgenden Beobachtungen gemacht:
Messtag 15.Jan. 15.April 15.Juni 15.Aug. 15.Sept.
r 10 5 2.5 1.3 1 (Einheiten)
cos(φ) ∼0,63 ∼0,39 ∼0,12 ∼ −0,31 ∼ −0,59
Man bestimme mit Hilfe der Gaußschen Ausgleichsrechnung den Typ der Kometenbahn.
Hinweis: Man schreibe die Kegelschnittgleichung zun¨achst in der Form 1/p−e/pcos(φ) = 1/r, die linear in 1/p und 1/e ist. Es gen¨ugt zweistellige Rechnung.
PA. Stabilit¨at der QR-Zerlegung mit Householder (3 + 5 + 2 + (2) = 10 + (2) Punkte) Der Befehl SciPy-Befehl scipy.linalg.qr ist ein Interface zur LAPACK-Routine dgeqrf, was ein K¨urzel f¨ur Double precision GEneral matrix QR decomposition Factorize ist. Diese Routine ist in der Programmiersprache Fortran geschrieben und berechnet die QR-Zerlegung einer Matrix A=QR mittels Householder-Transformationen.
(a) Untersuchen Sie die numerische Stabilit¨at der QR-Zerlegung mit Housholder-Transfor- mationen anhand dern-mal-n Hilbert-MatrixHn, deren Eintr¨age ¨uber
Hijn = 1
i+j−1, i, j= 1, . . . , n,
festgelegt sind. ¨Uberpr¨ufen Sie f¨ur n = 2k, k = 1, . . . ,10, die Genauigkeit der QR- Zerlegung anhand der Defektnorm kA−QRk∞.
(b) Die QR-Zerlegung einer Matrix A ∈ Rn×n liefert die Cholesky-Zerlegung der Matrix ATA=RTR.Uberpr¨¨ ufen Sie f¨ur die Werte vonnaus (a) die Qualit¨at dieser Zerlegung f¨ur die Hilbert-Matrix Hn anhand der Defektnorm kATA−RTRk∞ und vergleichen Sie dies mit der Cholesky-Zerlegung von ATA=LLT.
(c) Benutzen Sie die Singul¨arwertzerlegung Hn =UΣVT um f¨ur die Werte vonn aus (a) die Kondition cond2(Hn) zu berechnen.
Hinweise:Sie d¨urfen die Funktionencholesky(., lower=True),hilbert,norm,qr,svdaus dem Modul scipy.linalg benutzen. Studieren Sie die dazugeh¨orige Hilfe ¨uber den help- Befehl oder im WWW. Es gibt zwei Bonuspunkte, wenn Sie LinAlgError-Fehler in der Cholesky-Zerlegung ¨uber einentry–except-Block abfangen.
Im Auftrag von Stefan Mayer hier noch ein Hinweis der Studienfachschaft Informatik:
Informatikvollversammlung am 28. Juni 2017
Beginn 14 Uhr s.t. im Konferenzraum im 5. OG im Mathematikon (INF 205)
Unsere Fachschaft diskutiert und beschließt u.A. wie durch ihre ausf¨uhrenden Organe Einfluss auf Studium und Lehre im Sinne der Studierenden genommen werden soll.
Wir veranstalten deshalb regelm¨aßig die InfoVV, bei der die anwesenden Studis ¨uber aktuelle Themen aus Studium und Lehre diskutieren. In die Diskussion sollen Themen einfließen, die Deine aktuelle Studiensituation betreffen. Diese M¨oglichkeit bietet dir die kommende InfoVV, in deren Anschluss eine reine Informatik-Fachschaftssitzung stattfindet. Dort hast Du mit deiner Anwesenheit automatisch Stimmrecht. Entschei- de mit ¨uber Dein Studium und nutze Deine Stimme! Wir sorgen f¨ur Verpflegung w¨ahrend der Veranstaltung und im Anschluss grillen wir zusammen mit den Studis der Physikvollversammlung bei einem gemeinsamen Sommerfest.
Mehr Infos unter: mathphys.info/w/infovv ss17 Ihr findet uns auch auf Twitter als @FSMathPhys und Facebook unter fb.com/fachschaft.mathphys Abgabe bis Donnerstag, 29.06.2017, 14:15 Uhr.
Webseite:
http://typo.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mobocon/teaching/numerik-0-ss17
